Линейная производственная задача

                                                                                                                                                                

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ   УНИВЕРСИТЕТ   УПРАВЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

Кафедра прикладной математики

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Прикладная математика»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил    Набиев Р.Р.

Институт     ИНиМЭ

Отделение    дневное

Курс     II

Группа     2

Руководитель      Курочккин А. П.

Дата сдачи на проверку 30.05.02.

Дата защиты                  

Оценка                             

Подпись руководителя 

 

 

 

 

 

Москва – 2002

 

СОДЕРЖАНИЕ.

 

ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА.

 

Вариант № 15.

Формулировка линейной производственной задачи:

Фирмой «Балтика » выпускает 4 вида продукции:

 х₁ - Пиво безалкогольное,

 х₂ – Пиво классичечкое,

 х₃ – Пиво крепкое,

 х₄ – Пиво темное.

При этом фирма  располагает 3 видами ресурсов:

162 т. –  пшеницы,

134 т. –  солод, 

148 т. - хмель 

Требуется составить  такой план выпуска изделий х₁, х₂, х₃, х₄ , при котором мы уложимся в имеющиеся ресурсы и суммарная прибыль от реализации изготовленных по плану изделий будет максимальна.

Это – задача оптимизации и для ее решения  необходимо создать математическую модель

 

А - матрица удельных затрат;

В - вектор объёмов ресурсов;

С - вектор удельной прибыли.

 

а₁₁   а₁₂    а₁₃    а₁₄     в₁

А =    а₂₁   а₂₂    а₂₃    а₂₄ ;     В= в₂      ;

         а₃₁   а₃₂   а₃₃   а₃₄               в₃

 

С = (с₁, с₂, с₃, с₄).

 

           В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:

                                              

С1	С2	С3	С4			24	20	31	10
a11	a12	a13	a14	B1		3	0	2	5	162
a21	a22	a23	a24	B2		3	6	0	3	134
a31	a32	a33	a34	B3		2	4	3	1	148

         

        3  0  2  5                                            162

А =  3  6  0  3                                           В = 134

        2  4  3  1                                              148

 

С=(24, 20, 31, 10 ) .

Х - вектор объёмов выпуска продукции (производственная программа).

Х = (х₁, х₂, х₃, х₄) – 4 вида изделий.

В общем виде математическая модель линейной производственной задачи выглядит следующим образом:

найти Х = (х₁, х₂, х₃, х₄) такие, что

1. z(x₁, x₂, x₃, x₄) = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + c₄x₄ ® max, где z- функция прибыли;

 

(2)     a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a₁₄x₄ < в₁                                                     

         а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+а₃₄х₄ < в₂ ;

          а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃+а₃₄х₄ < в₃

 

(3)  x_i ³0 , i=1,4 .

     

(1) - целевая функция;

        (2) - линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);

        (3) - условие не отрицательности задачи .

Подставив соответствующие  значения , имеем:

1. z=24x₁+20x₂+31x₃+10х₄®max

(2)  3x₁         + 2x₃ + 5x₄  £ 162

       3x₁  + ₆x₂         + 3x₄   £ 134

          2x₁ + 4x₂+3x₃ +   x₄   £ 148

(3)         x_i  ³ 0, i=1...4.

 

(1)-(3)- математическая  модель линейной производственной  задачи.

Целевая функция (1) и условие не отрицательности (3) остаются без изменений. В линейные ограничения по ресурсам вводятся дополнительные выравнивающие переменные х5, х6, х7.,которые также являются базисными.

            х5 - остаток 1-го ресурса; 

            х6 - остаток 2-го ресурса;

            х7 - остаток 3-го ресурса.

Неравенство (2) следует  заменить уравнениями. Получим задачу линейного программирования в каноническом виде:

 

1. z=24x₁+20x₂+31x₃+10х₄®max

(2)  3x₁         + 2x₃ + 5x₄  = 162

       3x₁  + ₆x₂         + 3x₄   = 134

          2x₁ + 4x₂+3x₃ +   x₄   = 148

(3)         x_i  ³ 0, i=1...4.

(1)-(3)-задача линейного  программирования .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ .

  Для решения задачи симплексным методом необходимо построить симплексную таблицу, что и сделано в следующей таблице:

 

 

	Сб	Хб	Н	С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	С5	Х5	В5	а11	а12	а13	а14	1	0	0
2	С6	Х6	В6	а21	a22	a23	a24	0	1	0
3	C7	X7	B7	a31	a32	a33	a34	0	0	1
4		Z	Z0	D1	D2	D3	D4	0	0	0

            

 

Подставив соответствующие  значения из (1) и (3), имеем :

 

	Сб	Xб	Н	24	20	31	10	0	0	0	α
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7
1	0	Х5	162	3	0	2	5	1	0	0	81
2	0	Х6	134	3	6	0	3	0	1	0	-
3	0	Х7	148	2	4	3*	1	0	0	1	49min
4	–	L	0	-24	-20	-31	-10	0	0	0
1	0	Х5	190/3	5/3*	-8/3	0	13/3	1	0	-2/3	38min
2	0	Х6	134	3	6	0	3	0	1	0	44
3	31	Х3	148/3	2/3	4/3	1	1/3	0	0	1/3	74
4	–	–	-	-10/3	64/3	0	1/3	0	0	31/3
1	24	Х1	38	1	-8/5	0	13/5	3/5	0	-2/5
2	0	Х6	20	0	54/5	0	-24/5	-9/5	1	6/5
3	31	Х3	24	0	12/5	1	-7/5	-2/5	0	3/5
4	–	–	1656	0	16	0	-9	-2	0	-9

 

Пояснения к таблицам.

Х_б- базисная переменная;

Н -  значение переменной при равных нулю значениях небазисных переменных.

a_ij* - разрешающий элемент.

Z=Сб*Gj-Cj; Gj=(а1j, a2j, a3j)

Пояснения к решению  задачи. Алгоритм решения.

Просматриваем значения 4-й строки. Если все Dj ³ 0 ,то решение задачи оптимально.

Если какие-либо Dj < 0, находим min(Dj < 0) = Dк.

Хк включаем в число базисных переменных.

Отыскиваем переменную исключаемую  из базиса :

находим min(H/Gj) = H2/G2 (для всех Gj > 0);

Х5 исключаем из числа базисных переменных.

Строим новую симплексную таблицу, преобразуя исходную.

Возвращаемся в пункт 1.

 

Опорный план первой симплексной таблицы.

X=(0, 0, 0, 0, 162, 134, 148)

Этот опорный план отражает производство, при котором ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции равна 0.

В строке оценочных коэффициентов имеются отрицательные значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Наиболее выгодным в данной задаче  будет внедрение в производство третьего вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 31 денежных единиц. Поэтому x3 становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором будет объём сырья третьего вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 10.

 

Опорный план второй симплексной таблицы.

X=(0, 148/3, 0, 0, 190/3, 0, 134)

Стоимость продукции  при таком плане производства z=4588/3 денежных единиц.

Значение в столбцах данной симплексной таблицы показывают соотношение выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции

По этой таблице определяем, что наибольший прирост прибыли  принесёт первый вид продукции. При  исключении из базиса x6 неиспользованный второй ресурс полностью уйдёт в  производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.

 

Опорный план третьей  симплексной таблицы.

X=(38, 0, 24, 0, 0,20, 0)

При данном плане производства достигается прибыль в размере 1656 денежных единиц.

Этот план не предполагает выпуска третьей и четвёртой  продукции.

Все  Dj ³ 0 следовательно, план оптимален.

Выводы.

Оптимальная производственная программа имеет вид :

Х1=38, Х2=0, Х3=24, Х4=0, или Х=(38,0,24,0).

Максимальная прибыль равна Zmax=1656.

Использование ресурсов:

     1-й и 3-ий ресурс  используется полностью (Х5=0,Х6=0), а 2-ый ресурс имеет  остаток Х7=20 единиц.

При выполнении производственной программы 1-й и 2-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют  “узкие места производства”.

 

СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ НОВОЙ  ПРОИЗВОДСTВЕННОЙ ПРОГРАММЫ С УЧЁТОМ ПРОПОРЦИЙ.

 

Пусть для выпуска  продукции требуется некоторые затраты в определённых пропорциях. Пусть a = 1, b = 2, g=1, d=3, тогда: 2x1 = x3, а 3х2 = х4.

Исходя из полученных данных получаем, что математическая модель производственной задачи с учётом полученных пропорций примет вид:

 

P(x)=24x1 + 31x3®max

   x3 £ 81+ 1,5x2

    x3£ 74 –2/3x2 

        x1 ³ 0, x2 ³ 0

Х1=38; Х2=24

Полученную задачу можно  решить графически.

Решение задачи приведено  на Рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

Решение задачи находится  в точке А с координатами x1 = 38, x2 = 24, откуда оптимальный план производства: x1 = 38, x2 = 24,  а максимальная прибыль составит P(x)max = 1656

ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ЕЁ РЕШЕНИЕ  ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ.

Задача линейного оптимального планирования - исходная в своей  паре симметричных двойственных задач. Вообще же другая задача в двойственной паре строится так:.

1. каждому неравенству-ограничению исходной задачи ставим в соответствие переменную двойственной задачи (у), принимающую неотрицательные значения;
2. транспонируем матрицу коэффициентов при неизвестных;
3. правые части ограничений заменяем коэффициентами целевой функции;
4. меняем направление неравенств;
5. коэффициенты целевой функции заменяем правыми частями ограничений;
6. то максимизации целевой функции переходим к минимизации.

Обе задачи выглядят так

P= 24*x1+20*x2+31*x3+10*x4-->max    S= 162*y1+134*y2+148*y3  -->min

     3*x1+0*x2+2*x3+5*x4<=162                   3*y1+3*y2+2*y3>=24

     3*x1+6*x2+0*x3+3*x4<=134                   0*y1+6*y2+4*y3>=20