Лінійний регресійний аналіз

 

Економіко-математичне моделювання

 

Лінійний регресійний аналіз

 

 

Завдання. За допомогою МНК отримати рівняння сполучених регресійних прямих, що описують взаємозалежність між змінними y та x. Розрахувати коефіцієнт детермінації, оцінити адекватність побудованої моделі за допомогою критерію Фішера, побудувати графіки отриманих регресій на діаграмі розсіювання, зробити висновки по досліджуваній залежності.

 

 

 

Варіант 9
y	x1
126	2
90	5
92	7
65	10
52	12
40	15
25	18
15	20
8	22
0	23

 

 

 

                                           Розв'язання

1. Діаграма розсіювання

 

 

По розташуванню точок на діаграмі розсіювання можна стверджувати, що існує певна негативна залежність між досліджуваними змінними - тобто зі збільшенням однієї змінної інша змінна зменшується. Достатньо велика кількість дослідних точок та характер їх розташування дозволяє говорити про практично однаковий крок спостережень, відсутність нетипових аномальних спостережень, перевагу закономірності над випадковістю. Тобто всі вимоги до вихідних даних виконуються. Для опису даної залежності достатньо добре підійде лінійна регресія.

 

2. Знаходження параметрів лінійних регресій за допомогою МНК.

У випадку взаємозв'язку між досліджуваними змінними ми повинні знайти дві сполучені регресії. У випадку лінійного зв'язку така залежність описується рівняннями: y=b0+b1 x, x=а0+а1y.

Застосування методу найменших квадратів вимагає розв'язання системи нормальних рівнянь:

В загальному вигляді формули для знаходження параметрів лінійних регресій мають вигляд:

                         

 

                         

Складемо розрахункову таблицю:

№	x	y	x2	y2	xy
1	2	126	4	15876	252
2	5	90	25	8100	450
3	7	92	49	8464	644
4	10	65	100	4225	650
5	12	52	144	2704	624
6	15	40	225	1600	600
7	18	25	324	625	450
8	20	15	400	225	300
9	22	8	484	64	176
10	23	0	529	0	0
сума	134	513	2284	41883	4146

 

b0= = 126.152      b1=   =-5.586

a0== 22.391       a1= = -0.175

                

Отримали рівняння двох сполучених регресій:

                                  Y=126,152-5,586x

                                  Х=22,391-0,175у  

                                 3. Побудова графіків.

Для побудови графіку прямої лінії достатньо двох точок. При цьому відомо, що лінійні регресії завжди проходять через центр ваги хмари експериментальних точок - точку з координатами, що дорівнюють середнім арифметичним значенням досліджуваних змінних:

= 134/10=13.4                     =513/10=51.3 

Перевіримо отримані нами рівняння підстановкою в них середніх значень змінних:

Y(13.4)=126.152-5.586*13.4=51.3

X(51.3)=22.391-0.175*51.3=13.4

Отже, обидві прямі проходять через точку (13,2; 61,8).

В якості другої точки зручно узяти точку перетину прямої з віссю координат:

Y(0)=126.152-5.586*0=126.152

X(0)=22.391-0.0175*0=22.391

Побудуємо графіки прямих на діаграмі розсіювання:

 

 

Як видно, побудовані прямі правильно відображають досліджувану залежність. Немає дуже великих відхилень дослідних точок від прогнозних прямих. Кут між прямими дуже невеликий, що дозволяє говорити про тісний зв'язок між досліджуваними змінними.

 

                              4. Коефіцієнт детермінації.

 

Коефіцієнт детермінації у загальному випадку розраховується за формулою:

                               

  Для сполучених регресій відомо, що  

Складемо розрахункову таблицю:

№	x	y				y-	(y-  )^2
1	2	126	114,98	63,68	4055,142	74,7	5580,09
2	5	90	98,222	46,922	2201,674	38,7	1497,69
3	7	92	87,05	35,75	1278,063	40,7	1656,49
4	10	65	70,292	18,992	360,6961	13,7	187,69
5	12	52	59,12	7,82	61,1524	0,7	0,49
6	15	40	42,362	-8,938	79,88784	-11,3	127,69
7	18	25	25,604	-25,696	660,2844	-26,3	691,69
8	20	15	14,432	-36,868	1359,249	-36,3	1317,69
9	22	8	3,26	-48,04	2307,842	-43,3	1874,89
10	23	0	-2,326	-53,626	2875,748	-51,3	2631,69
сума	134	513			15239,74		15566,1

Отримаємо: R2= 15239.74/15566.1=0.979

Значення коефіцієнту детермінації доволі велике, що дозволяє говорити про велику точність побудованих моделей - більш ніж 97.9% зв'язку описується отриманими рівняннями. Частка впливу випадкових факторів, помилок та похибок складає менш ніж 2.1%.

5. Адекватність моделі.

Адекватність побудованої регресійної моделі визначимо за допомогою критерію Фишера:

                            184.92

Табличне значення критерію Фишера для випадку парної регресії й 10 проведених спостереженнях дорівнює: 5,32 - для 5% рівня значимості; 11,26 - для 1% рівня значимості. Як видно, отримане нами значення F перевищує критичне табличне значення, що дозволяє говорити про адекватність побудованої моделі реальної дійсності.

 

6. Висновки та економічна інтерпретація результатів.

Залежність змінної у від змінної х виражається рівнянням Y=126,152-5,586x що застосовується на інтервалі хÎ (2; 23). При цьому збільшення змінної х на одиницю приведе до зменшення змінної у на 5,586 од.

Залежність змінної х від змінної у виражається рівнянням    Х=22,391-0,175у  

що застосовується на інтервалі yÎ (0; 126). При цьому збільшення змінної у на одиницю приведе до зменшення змінної х на 0,175 од.

Коефіцієнт детермінації становить 97,9%, тобто вплив випадкових факторів і помилок становить 2,1%.

Значення критерію Фишера перевищує критичні табличні значення, що дозволяє говорити про адекватність побудованої моделі реальній дійсності.