Математическое моделирование экономических систем

Основные понятия.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

1. Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При  этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой  задаче, а также ситуация, которую  нужно реализовать в результате  ее решения. Это - этап содержательной  постановки задачи. Для того, чтобы  задачу можно было описать  количественно и использовать  при ее решении вычислительную  технику, нужно произвести качественный  и количественный анализ объектов  и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются  на части (элементы), определяются  связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные  значения свойств, количественные  и логические соотношения между  ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного  анализа задачи, в результате  которого объект оказывается  представленным в виде системы. Следующим этапом является математическая  постановка задачи, в процессе  которой осуществляется построение  математической модели объекта  и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап  системного синтеза (математической  постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может  оказаться, что ранее проведенный  системный анализ привел к  такому набору элементов, свойств  и соотношений, для которого нет  приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться  к этапу системного анализа. Как  правило, решаемые в экономической  практике задачи стандартизованы, системный анализ производится  в расчете на известную математическую  модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе  подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

1. Содержательная  постановка задачи.

2. Системный  анализ.

3. Системный  синтез (математическая постановка  задачи)

4. Разработка  или выбор программного обеспечения.

5. Решение  задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

1. Основные системные понятия

Кибернетическая система - это множество взаимосвязанных объектов - элементов системы, способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться информацией. Система включает также связи между элементами. Элементы и связи между ними могут обладать свойствами (показателями), каждое из которых может принимать некоторое множество значений. Примеры кибернетических систем: автопилот, регулятор температуры в холодильнике, ЭВМ, человеческий мозг, живой организм, биологическая популяция, человеческое общество.

Каждый элемент системы, в свою очередь, может быть системой, которая по отношению к исходной системе является подсистемой. В свою очередь, любая система может быть подсистемой другой системы, которая по отношению к ней является надсистемой.

Средой данной системы называется система, состоящая из элементов, не принадлежащих этой системе.

Объединение двух систем есть система, составленная из элементов объединяемых систем.

Пересечение двух систем есть система, состоящая из элементов, принадлежащих одновременно обоим этим системам.

Объединение системы и ее среды называется система-универсум.

Пересечение системы и ее среды называется пустой системой. Она не содержит ни одного элемента.

Для того, чтобы элементы системы могли воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, они должны обладать изменчивостью, т.е. менять свои свойства. Говорят, что элемент может находиться в разных состояниях. Каждый элемент характеризуется набором показателей. При изменении значения хотя бы одного из показателей элемент переходит в другое состояние, т.е. состояние элемента определяется совокупностью конкретных значений показателей элемента. Система в целом также может рассматриваться как элемент, она характеризуется своими показателями и может переходить из одного состояния в другое.

Показатели могут быть числовыми и нечисловыми. Числовые показатели могут быть непрерывными и дискретными. Нечисловые показатели обычно выражают в виде числовых, например - интеллект (коэффициент интеллекта), уровень знаний студента (оценка в баллах), отношение одного человека к другому (социологические индексы).

Элемент может осуществлять воздействие на другие элементы системы, изменяя их состояние. Для перехода элемента из одного состояния в другое требуется определенная энергия. Если физический процесс воздействия одного элемента на другой дает также энергию для перевода в другое состояние, то на второй элемент осуществляется энергетическое воздействие. Если же указанный процесс дает только сведения о состоянии воздействующего элемента, а энергия для перевода в другое состояние элемента, на который направлено воздействие, берется из иного источника, то на элемент осуществляется информационное воздействие. Говорят, что первый элемент передает сигнал второму элементу.

Сигнал есть сообщение о состоянии элемента.

В дальнейшем мы будем употреблять термин "передача сигнала" вместо "информационное воздействие" и "воздействие" вместо "энергетическое воздействие".

Состояние элемента может меняться самопроизвольно, или в результате сигналов и воздействий, поступающих извне системы.

Сообщение - это совокупность сигналов.

Сигналы, вырабатываемые элементами системы, могут поступать за пределы системы, в этом случае они называются выходными сигналами системы. В свою очередь, на элементы могут поступать сигналы извне системы, они называются входными. Аналогичным образом определяются входные и выходные воздействия.

Структура системы - это совокупность ее элементов и связей между ними, по которым могут проходить сигналы и воздействия.

Входами называются элементы системы, к которым приложены входные воздействия или на которые поступают входные сигналы.

Входными показателями называются те показатели системы, которые изменяются в результате входного воздействия или сигнала.

Выходами называются элементы системы, которые осуществляют воздействие или передают сигнал в другую систему.

Выходными показателями называются те показатели системы, изменения которых вызывают выходное воздействие или выходной сигнал, либо сами являются таким воздействием или сигналом.

2. Классификация систем.

Классификацию кибернетических систем мы проведем по двум критериям: степень сложности системы и ее детерминированность.

По степени сложности системы бывают:

1. Простые.

2. Сложные.

3. Сверхсложные.

К простым относятся системы, имеющие простую структуру и легко поддающиеся математическому описанию, они могут быть реализованы без использования ЭВМ.

Сложными являются системы, имеющие много внутренних связей и сложное математическое описание, реализуемое на ЭВМ.

Сверхсложные системы не поддаются математическому описанию.

Границы между указанными классами размыты и могут со временем смещаться, например, совершенствование математического аппарата и вычислительной техники позволяет дать описание систем, для которых это раньше было невозможно, или сложное описание сделать простым.

По второму критерию системы делятся на детерминированные и вероятностные.

Все возможные случаи получаются комбинированием указанных классов:

1. Простые  детерминированные системы:

- холодильник  с регулятором;

- система  размещения станков в цехе;

- система  автобусных маршрутов;

- семейный  бюджет;

- расписание  занятий факультета;

2. Сложные  детерминированные системы:

- ЭВМ;

- цветной  телевизор;

- сборочный  автоконвейер;

3. Сверхсложные  детерминированные системы:

- шахматы.

4. Простые  вероятностные системы:

- лотерея;

- система  статистического контроля продукции  на предприятии;

5. Сложные  вероятностные системы:

- система  материально-технического снабжения  на предприятии;

- система  диспетчирования движения самолетов  вблизи крупного аэропорта;

- система  диспетчирования энергетической  системы России;

6. Сверхсложные  вероятностные системы:

- предприятие  в целом, включая все его технические, экономические, административные, социальные  характеристики;

- общество;

- человеческий  мозг.

В нашем курсе мы будем интересоваться, главным образом, простыми и сложными системами, вероятностными и детерминированными.

3. Динамика системы

Состояние системы - это совокупность значений ее показателей.

Все возможные состояния системы образуют ее множество состояний. Если в этом множестве определено понятие близости элементов, то оно называется пространством состояний.

Движение (поведение) системы - это процесс перехода системы из одного состояния в другое, из него в третье и т.д.

Если переход системы из одного состояния в другое происходит без прохождения каких-либо промежуточных состояний, то система называется дискретной.

Если при переходе между любыми двумя состояниями система обязательно проходит через промежуточное состояние, то она называется динамической (непрерывной).

Возможны следующие режимы движения системы:

1) равновесный, когда система находится все  время в одном и том же  состоянии;

2) периодический, когда система через равные  промежутки времени проходит  одни и те же состояния;

Если система находится в равновесном или периодическом режиме, то говорят, что она находится в установившемся или стационарном режиме.

3) переходный  режим - движение системы между  двумя периодами времени, в каждом  из которых система находилась  в стационарном режиме;

4) апериодический  режим - система проходит некоторое  множество состояний, однако закономерность  прохождения этих состояний является  более сложной, чем периодические, например, переменный период;