Математичне програмування

Математичне програмування – один із напрямків прикладної математики, предметом якого є теорія та методи розв’язування задач знаходження екстремуму деякої функції при заданих умовах.

Об’єктом математичного програмування є різноманітні галузі людської діяльності, де в певних ситуаціях необхідно здійснити вибір найкращого з можливих варіантів дій. Основою такого вибору є розв’язок екстремальної задачі методами математичного програмування.

Розв’язування екстремальної економічної задачі складається з побудови економіко-математичної моделі, підготовки інформації, отримання оптимального плану, економічного аналізу отриманих результатів і визначення можливостей їх практичного застосування.

Математична модель економічного об’єкту (системи) – це його спрощений образ поданий у вигляді сукупності математичних співвідношень (рівнянь, нерівностей, логічних співвідношень, графіків тощо).

В суто математичному плані деякі оптимізаційні задачі були відомі ще в стародавній Греції. Проте, оскільки математичне програмування перш за все розглядає властивості та розв’язки математичних моделей економічних процесів, історію розвитку математичного програмування як самостійного наукового напрямку доцільно починати з часів перших спроб застосування методів математичного програмування в прикладних дослідженнях, насамперед в економіці. Тому справжнім початком математичного програмування в сучасному розумінні вважають праці радянського вченого Л.В.Канторовича. Наприкінці 30-х років в Ленінградському університеті ним вперше були сформульовані та досліджувались основні задачі, критерій оптимальності, економічна інтерпретація, методи розв’язування, геометрична інтерпретація результатів розв’язування задач лінійного програмування. (В 1939 році опубліковано монографію Л.В.Канторовича «Математичні методи організації і планування виробництва»). Сам термін «лінійне програмування» був введений дещо пізніше – в 1951 році в роботах американських вчених Дж.Данцинга та Т.Кумпанса, однак в своїй монографії Дж.Данцинг відмічає, що Л.В.Канторовича слід визнати першим, хто виявив, що широкий клас важливих виробничих задач може бути поданий в чіткому математичному формулюванні, яке дає можливість підходити до задач з кількісної сторони та розв’язувати їх чисельними методами.

Дж.Данцингом також був розроблений в 1947 році основний метод розв’язування задач лінійного програмування – симплексний метод, що вважається початком формування лінійного програмування як самостійного напрямку в математичному програмуванні. Наступним кроком стали праці Дж.Неймана (1947р.) по розвитку концепції двоїстості, що забезпечило розширення практичної сфери застосування методів лінійного програмування.

Періодом найбільш інтенсивного розвитку математичного програмування є п’ятидесяті роки. В цей час з’являються розробки нових алгоритмів, теоретичні дослідження з різних напрямків математичного програмування. В 1951 році – робота Г.Куна і А.Таккера, в якій наведено необхідні та достатні умови оптимальності нелінійних задач; 1954 р. – Чарнес і Лемке розглянули наближений метод розв’язання задач з сепарабельним опуклим функціоналом та лінійними обмеженнями; 1955 р. – ряд робіт присвячених квадратичному програмуванню. Також в п’ятидесятих роках сформувався ще один з напрямків математичного програмування – динамічне програмування значний вклад в розвиток якого вніс американський математик Р.Белман.

На жаль в період найбільш бурхливого розвитку математичного програмування за кордоном в Радянському Союзі не спостерігалось значних досягнень через штучні ідеологічні обмеження. Відродження досліджень з математичного моделювання економіки почалось в 60-80-ті роки і стосувалося опису «системи оптимального функціонування соціалістичної економіки». Серед радянських вчених того періоду слід відзначити роботи В.С.Немчинова, В.В.Новожилова, Н.П.Федоренко, С.С.Шаталіна Глушкова В.М., Михайлевич В. Єрмольев Ю.М. та інш.