5. Задача
ценообразования.
6. Теория
сетевого планирования.
Задача
надежности изделий.
Надежность изделий определяется
совокупностью показателей. Для каждого
из типов изделий существуют рекомендации
по выбору показателей надежности.
Для оценки изделий , которые
могут находиться в двух возможных состояниях
- работоспособном и отказом, применяются
следующие показатели:
- среднее время работы до возникновения
отказа (наработка до первого отказа);
- наработка на отказ;
- интенсивность отказов;
- параметр потока отказов;
- среднее время восстановления работоспособного
состояния;
- вероятность безотказной работы
за время t ;
- коэффициент готовности.
Существуют следующие соотношения
между показателями надежности:
;
;
.
Для восстановленных изделий
вероятность появления
отказов за время
в случае простейшего потока отказов
определяется законом Пуассона:
.
Из него следует, что вероятность
отсутствия отказов за время
равна
-
Данная зависимость называется
экспоненциальным законом надежности.
Задача
распределения ресурсов.
Вопрос распределения ресурсов
является одним из основных в процессе
управления производством.
Для решения этого вопроса в операционных
исследованиях пользуются построением
линейной статистической модели.
Предположим, что предприятие
располагает
видов ресурсов и
видов продукции, производимой
с использованием этих ресурсов. Необходимо
так распределить ресурсы, чтобы обеспечить
максимальный объем продукции, и , следовательно,
увеличение прибыли от ее реализации.
Введем следующие обозначения:
- количество ресурсов i-го вида
;
- максимальный объем выпуска продукции
j-го вида
;
- количество единиц
i-го ресурса, необходимого
для производства единицы продукции
j-го вида;
- прибыль от реализации единицы продукции
j-го вида;
- количество единиц продукции j-го
вида.
Совокупная прибыль стремится
к максимуму, т.е.
.
Следовательно,
Задача
ценообразования.
Для предприятия вопрос
образования цены на продукцию играет
немаловажную роль. От того, как проводится
ценообразование на предприятии, зависит
его прибыль. Кроме того, в существующих
сейчас условиях рыночной экономики цена
стала существенным фактором в конкурентной
борьбе. Допустим, что на предприятии производится
видов продукции. Обозначим
за
объем продукции i-го типа, который
надо производить.
Введем следующие обозначения:
- объем продукции i-го типа, который
надо производить ;
- цена продукции i-го типа, которую
нужно определить;
- себестоимость i-го вида продукции.
На рынке цены меняются, но на
основе его изучения можно определить
существование
усредненной цены
.
Любое предприятие стремится
к получению максимальной прибыли, т.е.
Следовательно, можно считать,
что
.
Надо также учесть , что при
образовании цены кадого вида продукции
необходимо
учитывать его качество, т.е.
учесть зависимость цены от качества (
).
Так как
выражает
только часть себестоимости
i-го вида продукции, без учета доли общих
производственных издержек,
ложащихся на продукцию, то определяем
полную
себестоимость i-го вида продукции
Так как величины
и
являются постоянными, то
данная задача решается с помощью метода
линейного программирования.
Теория
сетевого планирования.
Сетевое планирование и
управление (СПУ), является системой
планирования управления разработкой
крупных хозяйственных комплексов, конструкторской
и технологической подготовкой производства
новых видов товаров, строительством и
реконструкцией, капитальным ремонтом
основных фондов путем применения сетевых
графиков.
Сущность СПУ состоит в составлении
математической модели управляемого объекта
в виде сетевого графика или модели находящейся
в памяти ЭВМ, в которых отражается взаимосвязь
и длительность определенного комплекса
работ. Сетевой график после его оптимизации
средствами прикладной математики и вычислительной
техники используется для оперативного
управления работами.
Пример
сетевого графика
Кружочками на сетевом графике
обозначается событие, т.е. начало иди
конец
работы, а линией со стрелкой
- действия, которые надо совершить, чтобы
перейти от предшествующего
события к последующему.
Важным элементом разработки
сетевого графика является определение
продолжительности путей. Пути
представлены линиями, образуемыми стрелками
взаимосвязанных работ, концы которых
указывают на начальное и конечное события.
Различают полный и
критический пути:
1. Полный путь (Lп)
- путь, начало которого совпадает с исходным
событием сети, а конец - с ее завершающим
событием.
2. Критический
путь (Lкп) - путь, имеющий наибольшую продолжительность
и характеризующий время выполнения всего
комплекса работ, всего проекта в целом,
т.е. время достижения конечной цели.
Исходя из этих элементов, при
планировании длительности работ с
использованием сетевого графика
рассчитываются несколько показателей,
выражающих достоверную оценку
времени работы :
1. Оптимальная оценка времени
(минимальная продолжительность работ),
т.е. наиболее ранний срок совершения событий
при наиболее благоприятных условиях.
Он рассчитывается как сумма всех работ,
находящихся на предшествующему завершающему
событию максимальном пути (Тр)
2. Пессимистическая оценка
времени (директивный срок) - максимальная
продолжительность времени,
необходимого для выполнения необходимого
для выполнения работы при наиболее неблагоприятных
условиях - (Тп)
; где
- критический путь.
3. Наиболее вероятная
продолжительность времени -Тв, показывает
время
выполнения работы в нормальных
условиях. Определяется по следующей формуле:
- Резерв времени:
. Ïðè
Пример решения задачи. Расчет
параметров сетевого графика
1.
Построить сетевой график
2.
Выделить критический путь и
найти его длину.
3.
Определить резервы времени каждого
события .
4.
Определить резервы времени (полные,
частные первого вида, свободные
и независимые) всех работ и
коэффициент напряженности работы
(i,j). Данная работа указана в конце каждого
варианта (под таблицей).
(i,j) |
1,2 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
3,7 |
4,5 |
4,6 |
4,9 |
5,8 |
5,10 |
6,9 |
6,11 |
7,10 |
8,10 |
9,10 |
10,11 |
t (i,j) |
5 |
6 |
4 |
3 |
6 |
1 |
4 |
7 |
9 |
3 |
1 |
5 |
7 |
4 |
3 |
8 |
(i,j)
= (9,10)
Решение:
- На основании условия получим следующий
сетевой график:
Для
удобства вершину (событие) с номером i
будем изображать кругом, разделенным
на четыре части, в которых будут проставлены
основные временные характеристики сетевого
графика.
-
номер вершины в правильной
нумерации
-
ранний срок наступления события
-
поздний срок наступления события
–
резерв времени события
2)
Найденный критический путь отмечен
на сетевом графике жирной
линией.
Найденное
критическое время .
3)
Пусть - заданная продолжительность работы ,
где - номер начальной, - конечной вершины, тогда записывается на дуге сетевого графика и считается ее длинной.
Ранним
сроком свершения события назовем самый
ранний момент времени, к которому завершаются
все работы, предшествующие этому событию.
где -
множество всех работ, входящих в j-е событие
-
ранний срок свершения начального
события работы ,
-
продолжительность работы ,
Для
первой вершины полагаем –
Поздним
сроком свершения события i называем самый
поздний момент времени, после которого
остается ровно столько времени, сколько
необходимо для завершения всех работ,
следующих за этим событием.
где -
множество всех работ, выходящих из i-го
события
-
поздний срок свершения конечного
события работы
-
продолжительность работы
Резерв
времени события показывает, на какой предельно допустимый
срок может задержаться свершение события без
нарушения срока наступления завершающего
события. Ранние и поздние сроки свершения
событий, а также их резервы времени указаны
на сетевом графике.
4)
Максимально допустимое время, на
которое можно увеличить продолжительность
или отложить начало выполнения
работы так, чтобы это не вызвало
задержки выполнения всего проекта,
называется полным резервом времени
этой работы и обозначается .
Частный резерв времени первого вида -это
запас времени, которым можно располагать
при выполнении операции в предположении,
что начальное и конечное ее события свершаются
в предельные сроки:
Свободный
резерв времени -максимальный запас времени, на которое
можно отсрочить или (если она началась
в свой ранний срок) увеличить ее продолжительность
при условии, что не нарушатся ранние сроки
начала всех последующих работ.
Независимый
резерв времени –запас времени, которым
можно располагать при выполнении данной
работы при условии, что начальное ее событие
наступит в свой поздний срок, а конечное
–в ранний срок.
4)
Составим расчетную таблицу, в
которой определим резервы времени
работ
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
5 |
0 |
5 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,3 |
6 |
5 |
11 |
5 |
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,4 |
4 |
5 |
9 |
5 |
10 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2,5 |
3 |
5 |
10 |
5 |
11 |
3 |
3 |
2 |
2 |
3,7 |
6 |
11 |
17 |
11 |
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4,5 |
1 |
9 |
10 |
10 |
11 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4,6 |
4 |
9 |
13 |
10 |
20 |
7 |
6 |
0 |
0 |
4,9 |
7 |
9 |
16 |
10 |
21 |
5 |
4 |
0 |
0 |
5,8 |
9 |
10 |
19 |
11 |
20 |
1 |
0 |
0 |
0 |
5,10 |
3 |
10 |
24 |
11 |
24 |
11 |
10 |
11 |
10 |
6,9 |
1 |
13 |
16 |
13 |
21 |
7 |
7 |
2 |
2 |
6,11 |
5 |
13 |
32 |
13 |
32 |
14 |
14 |
14 |
14 |
7,10 |
7 |
17 |
24 |
17 |
24 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8,10 |
4 |
19 |
24 |
20 |
24 |
1 |
0 |
1 |
0 |
9,10 |
3 |
16 |
24 |
21 |
24 |
5 |
0 |
5 |
0 |
10,11 |
8 |
24 |
32 |
24 |
32 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Определим
коэффициент напряженности для работы
(9, 10):
—
максимальный путь, проходящий через данную
работу, от исходного до завершающего события; —
продолжительность части критических
работ, расположенных на рассматриваемом
пути; — продолжительность критического пути.
Заключение
Решение экономических задач
с помощью метода математического моделирования
позволяет осуществлять эффективное управление
как отдельными производственными процессами
на уровне прогнозирования и планирования
экономических ситуаций и принятия на
основе этого управленческих решений,
так и всей экономикой в целом. Следовательно,
математическое моделирование как метод
тесно соприкасается с теорией принятия
решений в менеджменте.
В результате работы я выяснила,
что математические модели в экономике
представляют формализованное описание
управляемого экономического объекта
(процесса), включающее заранее заданные
известные параметры, показатели и искомые
неизвестные величины, характеризующие
вместе состояние объекта, его функционирование,
объединённые между собой связями в виде
математических зависимостей, формул.
Библиография.
Г.И.Просветов «Математические
методы и модели в экономике», Альфа-Пресс, год издания 2008
Симонов А.С. «Экономика на уроках
математики» Издательство: Школа-Пресс,
год издания: 1999.
Информационный сайт Балаково.