Моделирование и его значение в управленческом процессе. Особенности модели экономических процессов

Цех кондитерской фабрики вырабатывает три ассортиментные группы конфет, условно обозначенные M1, М2, М3 /в ед./. Для их производства используются основные виды ресурсов /сырья/ трех видов, условно названных П1, П2, П3 /в ед./. Расход каждого ресурса на производство единицы продукции является заданной величиной, определяется по рецептуре и обозначается символами а11, a12..., а33, где а - норма расхода, первая подстрочная 1 - номер ресурса, вторая подстрочная 1, 2, 3 - номер ассортиментной группы конфет.

Наличие каждого ресурса для производства всех, групп конфет принимается как известная величина и обозначается символами в1, в2, в3. Прибыль на продукцию также принимается как известная величина и обозначается символами с1, с2, с3.

Определить  план производства, который обеспечивал  бы в принятых условиях наибольший доход.

Символическая модель, наполненная численной информацией, будет иметь следующий вид:                                                        

Прибыль от реализации выпускаемой продукции  должна быть максимальной, то есть:

F(x) =28x1+49x2+x3->max

Решение.

Избавимся от неравенств в ограничениях, введя в ограничения 1, 2, 3 неотрицательные балансовые переменные s₁, s₂, s₃.

14

x1

+

28

x2

+

5

x3

+

s1

=

700

(1)

21

x1

+

21

x2

+

5

x3

+

s2

=

630

(2)

6

x1

+

6

x2

+

x3

+

s3

=

162

(3)

x₁, x₂, x₃, s₁, s₂, s₃ ≥ 0 
Ищем в системе ограничений базисные переменные. 
Из последней системы ограничений можно выделить базисные переменные s₁,s₂,s₃.

Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу. 
Начальная симплекс-таблица

БП	x1	x2	x3	s1	s2	s3	Решение	Отношение
s1	14	28	5	1	0	0	700	700 / 28 = 25
s2	21	21	5	0	1	0	630	630 / 21 = 30
s3	6	6	1	0	0	1	162	162 / 6 = 27
F	28	49	0	0	0	0	-9	--

 
Итерация 1

БП	x1	x2	x3	s1	s2	s3	Решение	Отношение
x2	1   2	1	5   28	1   28	0	0	25	25 / 1   2 = 50
s2	21   2	0	5   4	-3   4	1	0	105	105 / 21   2 = 10
s3	3	0	-1   14	-3   14	0	1	12	12 / 3 = 4
F	7   2	0	-35   4	-7   4	0	0	-1234	--

 
Итерация 2

БП	x1	x2	x3	s1	s2	s3	Решение	Отношение
x2	0	1	4   21	1   14	0	-1   6	23	--
s2	0	0	3   2	0	1	-7   2	63	--
x1	1	0	-1   42	-1   14	0	1   3	4	--
F	0	0	-26   3	-3   2	0	-7   6	-1248	--

 
 
Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции  нет положительных коэффициентов.

Как видно  из таблицы, оптимальный план предусматривает  выпуск продукции П1 4 ед. (х₁ = 4), П2 23 ед. (х₃ = 23), дополнительного неизвестного П5 63 ед. (s₂ = 63). П3 и дополнительные неизвестные в план не вошли, следовательно, х₃ = 0, s₁ = 0 s₃ = 0. Подставив значения неизвестных в уравнения, получим:

14 * 4 + 28 * 23 + 5 * 0 = 700

21 * 4 + 21 * 23 + 5 * 0= 630

6 * 4 + 6 * 23 + 0 = 162

F = 28 * 4 + 49 * 23 + 9 * 0 = 1248

 

Анализ оптимального плана.

а) Запасы сырья трех видов используются не полностью, так как s₂ = 63, а s₁ = s₃ = 0.

От выпуска  продукции III следует отказаться.

 

Задача 2 (Транспортная задача)

Составить оптимальный план перевозок пищевых  продуктов, обеспечивающий наименьшее количество тонно-километров. В таблице отражены поставщики (П) и объемы вывоза, потребители (М) и объемы завоза, а также кратчайшие расстояния (в км) между поставщиками и потребителями (в верхнем правом углу).

Таблица

Поставщики	Потребители				Объемы вывоза, тонн
	М1	М2	М3	М4
П1	4	7	2	3	30
П2	3	1	2	4	190
П3	5	6	3	7	250
Объемы завоза, тонн	70	120	150	130

 

Решение.

Математическая  модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij,    (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i,  i = 1,2,…, m,   (2)

∑x_ij = b_j,  j = 1,2,…, n,   (3)

Стоимость доставки единицы груза из каждого  пункта отправления в соответствующие  пункты назначения задана матрицей тарифов 

 

	1	2	3	4	Запасы
1	4	7	2	3	30
2	3	1	2	4	190
3	5	6	3	7	250
Потребности	70	120	150	130

Проверим  необходимое и достаточное условие  разрешимости задачи.

∑a = 30 + 190 + 250 = 470

∑b = 70 + 120 + 150 + 130 = 470

Условие баланса соблюдается. Запасы равны  потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную  таблицу.

 

	1	2	3	4	Запасы
1	4	7	2	3	30
2	3	1	2	4	190
3	5	6	3	7	250
Потребности	70	120	150	130

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть  метода заключается в том, что  из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.