Моделирование спроса потребителя

Федеральное государственное образовательное бюджетное  
учреждение высшего профессионального образования  
«Финансовый университет при Правительстве  
Российской Федерации»

 

 

 

Кафедра: «Системный анализ и моделирование экономических процессов»

 

 

 

Домашняя творческая работа по дисциплине «Моделирование микро- и макроэкономических процессов»

На тему: «Моделирование спроса потребителя»

 

 

 

 

 

Выполнил: 
студент группы ПМ1-3 
Мулин Н.Д 
Проверила: к.э.н.,  
доцент Михалева М.Ю.

 

 

 

Москва-2015

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

 

Введение

В данной работе я собираюсь провести исследование поведения потребителя на рынке благ. Для этого, необходимо рассмотреть две основополагающие модели: Маршалла-Вальраса и Хикса. Каждая из них описывает поведение человека при выборе наиболее предпочтительного набора товаров и услуг, но экономисты по-разному подходят к данной ситуации. 
Согласно модели Маршалла-Вальраса, потребитель выбирает такой набор благ, который, с одной стороны, доставляет ему максимальную полезность, а с другой, оказывается потребителю по карману. 
В модели Хикса потребитель, приходя на рынок, выбирает такой набор благ, который доставляет ему заданный уровень полезности, и при этом обладает минимальной стоимостью. 
Мое исследование разделится на две части. В первой части будет подробно разобрана модель Маршалла-Вальраса, также будут приведены вычисления  
множителя Лагранжа, значения косвенной функции полезности, будет доказано тождество Роя, будет дана классификация спроса потребителя. Во второй части моей работы будет подробно разобрана модель Хикса,  
будет получено уравнение и вычислено значение функции расходов потребителя, будет доказана лемма Шепарда, будут проверены свойства функции расходов, будет получен аналитический вид элементов матрицы Слуцкого, а также приведено решение с конкретными благами и их ценами, уровнем дохода потребителя и заданной функцией полезности.

 

Теоретическая часть

Задание 1

Требуется:

1. По модели Маршалла-Вальраса определить уравнение спроса на данные блага и вычислить его значение;
2. Вычислить множитель Лагранжа;
3. Получить уравнение и вычислить значение косвенной функции полезности;
4. Доказать равенство и тождество Роя;
5. Дать классификацию благ в спросе потребителя;

 

1. Неоклассическая функция полезности на пространстве благ описывается уравнением:

В соответствии с моделью Маршалла – Вальраса потребитель стремится максимизировать полезность набора благ при соблюдении бюджетного ограничения. Поэтому математическая модель задачи имеет вид:

 

Найдём решение данной задачи методом Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа:

 

И найдем ее частные производные:

 

 

 

Приравняем частные производные функции Лагранжа к нулю и найдём оптимальное решение:

 

1.  

(1)/(2):   

 

(3): 

 

 

 

 

 

 

2. Вычислить множитель Лагранжа.

Из (1) получаем:

 

3. Получить уравнение и вычислить значение косвенной функции полезности потребителя.

Уравнение косвенной функции полезности получаем, подставляя спрос потребителя в выражение функции полезности.

 

4. Доказать, что

 

Доказательство:

 

Доказать тождество Роя:

 

Доказательство для ( аналогично будет и для )

 

5. Дать классификацию благ в спросе потребителя.

Для определения вида благ необходимо найти значения частных производных спроса по доходу и по цене.

 

 

Следовательно, блага 1 и 2 – ценные, спрос на которые растёт с ростом дохода потребителя.

 

 

Следовательно, блага 1 и 2 – нормальные, спрос на которые уменьшается при увеличении цены. Таким образом, поскольку данное свойство имеет место при любых допустимых исходных данных, можно сделать вывод о том, что в модели Маршалла – Вальраса рассматриваются только ценные нормальные блага.

Задание 2

Требуется:

1. по модели Хикса определить уравнение компенсированного спроса на данные блага и вычислить его значение при заданном уровне полезности набора благ ;

2. получить уравнение  и вычислить значение функции  расходов потребителя;

3. проверить свойства  функции расходов;  

4. доказать лемму Шепарда;

5. получить аналитический  вид элементов матрицы Слуцкого, вычислить их значения и дать  экономическую трактовку.

 

1. По модели Хикса определить уравнения спроса по Хиксу на данные блага.

Математическая модель Хикса имеет вид:

 

В качестве функции полезности используем неоклассическую функцию. Найдём решение данной задачи методом множителей Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа:

 

и найдём её частные производные

 

 

 

Приравняем частные производные функции Лагранжа к нулю и найдём оптимальное решение:

 

(4):  

(5):  

(4)/(5):    

 

(6):  

 

 

 

 

2. Чтобы получить уравнение функции расходов потребителя, необходимо подставить полученные уравнения для в функцию :

 

 

3. Проверить свойство функции расходов.

а) Функция расходов однородна первой степени по ценам благ:

 

 

Следовательно, функция однородна первой степени по ценам благ.

б) Функция расходов возрастает по цене любого блага и выпукла вверх:

 

 

 

Аналогично,

 

Следовательно, функция расходов потребителя возрастает по цене

любого блага.

 

Аналогично.

 

Следовательно, функция расходов потребителя выпукла вверх по цене любого блага.

4. Доказать лемму Шепарда:

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

5. Получить аналитический вид элементов матрицы Слуцкого. Элементы матрицы Слуцкого имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая часть

Задание 1

Параметры:

 

 

 

Потребитель располагает доходом:

 

Цены благ:

 

 

Математическая модель задачи:

 

Используя полученные формулы в теоретической части работы (Задание 1) , получаем:

 

 

 

 

 

Задание 2

Цены благ и функция полезности такие же, как и в задании № 1.

Уровень полезности набора благ ,

Математическая модель Хикса имеет вид:

 

Используя полученные формулы в теоретической части работы (Задание 2) , получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Цель данной работы была - провести исследование поведения потребителя на рынке благ и разобрать примеры с применением модели Маршалла-Вальраса и Хикса.

В соответствии с поставленной целью в ходе работы были выполнены следующие задачи:

• описана основная теория;

• выполнена расчетно-аналитическая работа (рассмотрены решения нескольких задач с применением данных моделей).

1