Общий анализ временного ряда

1.Общий анализ временного ряда

Исходные данные

t	yt
1	638,9	658,5
2	683,3	679,83
3	734	710,82
4	773,1	740,42
5	724,8	761,54
6	786,9	773,44
7	788,9	772,8
8	793,5	791,98
9	769,9	798,96
10	820,7	841,62
11	821,8	845,06
12	1002,2	856,6
13	810,7	864,96
14	827,6	885,74
15	862,5	858,2
16	925,7	888,36
17	864,5	910,48
……	……..	……..
63	2534	2409,22
64	2707,1	2594,98
65	2548,3	2720,82
66	2893,5	2816
67	2921,2	2877,8
68	3009,9	2974,86
69	3016,1	3016,36
70	3033,6	3235,32
71	3101	3444,41
72	4016	3654,74

 

 

 
 Проверка гипотезы о случайности временного ряда.

Проверка осуществляется по критерию Фишера.

, 

где , - средние значения первой и второй половины ряда, имеющих длины n_п , n_в (n_п + n_в = n); s_п² , s_в² – дисперсии первой и второй половины ряда.

t крит. находим по таблице. Получим, t расч. < t крит, (11.53>1.99), то ряд является динамическим.

 

 

 

Провести  линейное сглаживание методом скользящей средней по пяти точкам

Сглаживание ряда осуществляется по m = 5 точкам, то для p = 1 (линейное сглаживание) новое сглаженное значение уровня ряда вычисляется по формуле

,

Построить график временного ряда и график сглаженного  ряда

График временного ряда и график сглаженного ряда

Проверить гипотезу о смене тенденции с  помощью критерия Грегори Чоу  для t^* = 32.

Проверка гипотезы о смене тенденции с помощью  теста Грегори-Чоу

часть ряда	остаточная  сумма квадратов	длина ряда	число параметров уравнения
1	206123,826	32	2
2	2553131,81	40	2
весь ряд	7529702,66	72	2

 

Skl=	2759255,638
Sost=	4770447,019
Fрасч=	58,78222968
dF1=	2
dF2=	68
Fтабл=	3,131671971

 

Расчетное значение F-критерия ;

F_табл(α, df₁, df₂), найденным по таблице критических точек распределения Фишера для уровня значимости α и числа степеней свободы df₁ = k₁ + k₂ - k₃, df₂ = n - k₁ - k₂

По результатам теста, можно сделать вывод, что выборку необходимо разделить, т.к. Fрасч.>Fтабл. (58,78>3,13)

2.Моделирование временного ряда без учета сезонности

Построим  линейный тренд

Оценить качество уравнения тренда (средняя  относительная ошибка аппроксимации, критерии Фишера и Стьюдента).

Рассчитаем  среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

, получим А = 6,95%;

Критерии Фишера и Стьюдента статистически значимы, т.к.:

1. Критерий Фишера Fрасч.>Fтабл. (181,82>4.13)
2. Критерий Стьюдента Fрасч.>Fтабл. B0 = (11,04>2.03) B1 = (13,48>2.03)

Анализ  остатков

Проверив предпосылки  теоремы Гаусса-Маркова получаем, что Драсч. = 1,95.

0

1,41

1,52

2,48

2,59

4

 

Т.к Д расч попадает в интервал (1,52;2,48) то остатки независимы, требования выполняются.

 

На графике остатков можно увидеть удаленность 5 точек от «основной массы», помимо этого, остатки располагается по кривой линии, поэтому модель можно считать гетероскедантичной.

 

 

Модель  ряда и её характеристики

 

Используя пакет  «Анализ данных» и выбрав функцию «Регрессии», получим: параметры уравнения, коэффициент корреляции и детерминации.

 

У= 1051,72+59,66t – уравнение тренда, Параметр b₀ = 1051,72 интерпретируется как параметр начальных условий, b₁ = 59,66 как скорость роста переменной y_t;

Коэффициент корреляции r = 0.91. Это говорит нам о связи между временем и зарплатой;

Коэффициент детерминации R = 0,84 показывает, что R-квадрат близок к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных;

Дисперсия D = 67838,33 - отражает меру разброса данных вокруг средней величины;

- стандартное отклонение, но возведя в квадрат получим  дисперсию. 

Ошибка аппроксимации составила 6,95%, рассчитывается по формуле: .

 

 

 

 

 

 

 

Прогноз доходов населения в первом квартале 2002г.

Где ряд1 – линейный тренд, а ряд2 – прогноз.

Подставив в уравнение  У= 1051,72+59,66t значения 37,38,39, получим:

Прогноз на 2002г:

месяц	доход
январь	3259,279
февраль	3318,943
март	3378,607

δ = 14,11%. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Моделирование временного ряда с учетом сезонности

l	rl	k	rk
1	0,84	69	0,2911
2	0,84	68	0,28288
3	0,84	67	0,27877
4	0,86	66	0,27466
5	0,80	65	0,27055
6	0,83	64	0,26644
7	0,76	63	0,26233
8	0,81	62	0,25822
9	0,75	61	0,25411
10	0,69	60	0,25
11	0,62	59	0,24589
12	0,99	58	0,24178

Вычислим Коэффициент автокорреляции первого порядка (лаг l = 1) равен

.

После вычисления коэффициентов автокорреляции проверяем их статистическую значимость сравнением с критическими значениями коэффициента корреляции. Далее строим коррелограмму.

Коррелограмма

Построить аддитивную модель временного ряда

Используя пакет  «Анализ данных» и выбрав функцию  «Регрессии», получим: параметры уравнения, коэффициент корреляции и детерминации.

 

У=1049,89+59,73t – уравнение тренда, Параметр b₀ = 1049,89 интерпретируется как параметр начальных условий, b₁ = 59,73 как скорость роста переменной y_t;

Коэффициент корреляции r = 0.92. Это говорит нам о связи между временем и зарплатой;

Коэффициент детерминации R = 0,85 показывает, что R-квадрат близок к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных;

Дисперсия D =57,01 - отражает меру разброса данных вокруг средней величины

- стандартное отклонение, но возведя в квадрат получим  дисперсию;

Ошибка аппроксимации составила 12.14%. Формула для расчета .

Построим  график прогноза данных на 1 квартал 2002 года

Подставив в  уравнение у = 1049,89+59,73t значения 37,38,39, получим

Прогноз на 2002г:

месяц	доход
январь	3182.01
февраль	3237.52
март	3293.04

δ = 13.91%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Прогнозирование без использования тренда

 

Прогнозное  значение по среднему абсолютному приросту:

 

Для начала определим абс. прирост.T= (yt)-(y(t-1))=222.17

месяц	прогноз
янв.02	4238,171
фев.02	4460,343
мар.02	4682,514

Относительная ошибка прогноза находится по формуле:

;  δ= 26,79% 
Прогнозное значение по среднему темпу роста:

Определим темп роста  T=yt/y(t-1) = 1,05

 

месяц	прогноз
янв.02	4214,531
фев.02	4422,876
мар.02	4641,521

δ= 26,37% 

Прогнозное  значение методом численного сглаживания:

Для прогноза численным  сглаживанием воспользуемся формулой:

месяц	прогноз
янв.02	3864,45
фев.02	4209,96
мар.02	4579,853

δ= 22,34% 

Ряд 1- временной ряд Ряд3- метод численного сглаживания

Ряд2 – по абсолютному  приросту Ряд4- по среднему темпу роста.

Заключение:

Для наибольшей наглядности отобразим на графике и таблице обобщенные данные по работе.