Определение оптимальных минимальных убытков в условиях неопределенности

Элементы этой матрицы (см. на таблицу 1) lij можно рассмотреть как полезность результата Qj, при использовании стратегии xi:

lij = U (полезность), j =1...n, i=1..m.

В зависимости от состояния среды, результат Qj будет определяться вероятностью:

P(Qj /xi, Sk) – условная вероятность.

При рассмотрении вероятности P(Sk) замечаем, что распределение этих вероятностей не известно (вероятность среды).

              Предположение о вероятностном состоянии среды называется субъективными вероятностями:

(Sk)

              В сформулированных условиях существует несколько критериев для выбора оптимальной стратегии.

              Рассмотрим критерий Вальда

              Критерий осторожного наблюдателя, пессимистический критерий.

              Статистик и экономист Вальд писал: «Если мне не известны состояния природы, я буду поступать самым осторожным способом. Из каждой строки таблицы я извлеку самый маленький результат lij и выберу строку, в которой находится наибольшее из этих чисел.

В случае антогонистической среды этот критерий переходит в критерий Джона Фон Неймана (критерий минимакса).

              Из этого следует, что из стратегий Xi выбирают ту, которая при самом неблагоприятном состоянии внешней среды, имеет наибольшее значение показателя. С этой целью в каждой строчке матрицы фиксируют альтернативы с минимальным значением показателя и из отмеченных минимальных выбирают максимальное. Стратегии Xi с максимальным значением из всех минимальных даётся приоритет:

              maxxi minSk U(xi, Sk)

Этот критерий оптимизирует полезность в предположении, что среда находится в самом  невыгодном состоянии.

Рассмотрим критерий Гурвица

Это критерий здорового оптимиста.

Критерий основан на двух предположениях:

1. Cреда может находится в самом невыгодном состоянии с вероятностью 1- α;

2. В самом невыгодном состоянии с вероятностью α. Здесь α – коэффициент доверия (коэффициент оптимизма), где 0<= α<=1.

Принцип работы критерия:

Пусть в рассматриваемой строке самое малое число определяется из всех возможных полезностей:

α =minSk U(xi, Sk)

А самое большое число определяется как максимальное из тех же элементов:

α =maxSk U(xi, Sk)

Теперь для каждой строки следует вычислить:

α max U(xi, Sk) + (1- α) min U(xi, Sk) = αA + (1- α) α.

И выберем строку для которой этот параметр будет максимальным:

H = max [αA + (1- α) α]

1. Если α=0, то получаем из этого соотношения критерий Вальда:

H = max [α max U(xi, Sk) + (1- α) min U(xi, Sk)]

Если α=0, то  H = maxxi minSk U(xi, Sk) – критерий Вальда

2. Если α=1, то приходим к решающему правилу

maxxi maxSk U(xi, Sk)

Это соотношение – стратегия здорового оптимиста.

Рассмотрим критерий Лапласа

Лаплас говорил: «Я не знаю ничего о будущих состояниях природы, поэтому я могу считать их равновероятностными».

Этот критерий опирается на известный принцип недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояний S1, S2, ... ,Sk не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае можно было бы определить эти вероятности и ситуацию уже не следовало рассматривать как принятие решения в условиях неопределенности. Так как принцип недостаточного обоснования утверждает противоположное, то состояния S1, S2, ...,Sk имеют равные вероятности:

P(S) = P(S2) = P (Sk), тогда P(Sk) =– число состояний.

В этом случае решающее правило определяется соотношением:

max

Рассмотрим критерий Сэвиджа

Этот критерий характеризуется крайней осторожной (пессимистической) позицией к возможным потерям из-за отсутствия достоверных сведений о том, какая из ситуаций,  влияющих на экономический результат, будет иметь место в конкретном случае. Реализуется применительно к матрице сожалений.

Сожаление – это величина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды, относительно наилучшего возможного состояния.

Чтобы построить «сожаление» поступают следующим образом:

1.       Строим матрицу = || Uik || полезностей, i=1..m, k=1..n

Uik в данном случае определяется на пространстве состояний:

Uik = U (xi, Sk)

2.       В каждом столбце этой матрицы находится максимальный элемент:

Uk = maxi Uik

3.       Из максимального элемента вычитают все элементы этого столбца.

4.       Строим матрицу «сожалений» Uc = || Uikc||, где Uikc = Uk – Uik (разница).

5.       Искомую стратегию xi, которая минимизирует «сожаление» определяют из

соотношения:

minSk maxxi Uikc

Таким образом, окончательно критерий Сэвиджа примет вид:

minSk maxxi Uc(xi, Sk)

Uc(xi, Sk) = maxxiU(xi, Sk) - U(xi, Sk)

Выбор критерия принятия решений является сложным процессом.

При этом не существует каких – либо общих рекомендаций и советов. Выбор критерия должен согласовываться с конкретной спецификой задачи и целями.

В частности, даже если минимальный риск не допустим, то следует применить критерий Вальда. Если же риск в какой-то степени приемлем, то обычно выбирают Критерий Сэвиджа.

2.3 Неопределенность и риск

При принятии управленческих решений требуется оценить степень риска и определить его величину. Степень риска – это вероятность наступления случая потерь, а также размер возможного ущерба от него.

Риск предпринимателя количественно характеризуется субъективной оценкой вероятной (т.е. ожидаемой), величины максимального и минимального дохода (убытка) от данного вложения капитала. При этом, чем больше диапазон между максимальными минимальным доходом (убытком) при равной вероятности их получения, тем выше степень риска.

Риск представляет собой действие в надежде на счастливый исход по принципу «повезет – не повезет». Принимать на себя риск предпринимателя вынуждает прежде всего неопределенность хозяйственной ситуации, т.е. неизвестность условий политической и экономической обстановки, окружающей ту или иную деятельность, и перспектив изменения этих условий. Чем больше неопределенность хозяйственной ситуации при принятии решения, тем больше и степень риска.

Неопределенность хозяйственной ситуации обусловливается следующими факторами: отсутствием полной информации, случайностью, противодействием. Отсутствие полной информации о хозяйственной ситуации и перспектив ее изменения заставляет предпринимателя искать возможность приобрести недостающую дополнительную информацию, а при отсутствии такой возможности начать действовать наугад, опираясь на свой опыт и интуицию.

Случайность во многом определяет неопределенность хозяйственной ситуации. Случайность – это то, что в сходных условиях происходит неодинаково, и поэтому ее заранее нельзя предвидеть и спрогнозировать. Однако при большом количестве наблюдений за случайностями можно обнаружить, что в мире случайностей действуют определенные закономерности. Математический аппарат для изучения этих закономерностей дает теория вероятности. Случайные события становятся предметом теории вероятности только тогда, когда с ними связываются определенные числовые характеристики – их вероятности.

Случайные события в процессе их наблюдения повторяются с определенной частотой. Частота случайного события представляет собой отношение числа появлений этого события к общему числу наблюдений. Частота обычно обладает статистической устойчивостью в том смысле, что при многократном наблюдении ее значения мало меняются. Таким образом, частоты случайного события как бы группируются около некоторого числа. Устойчивость частоты отражает некоторое объективное свойство случайного события, заключающееся в определенной степени его возможности.

Мера объективной возможности случайного события А называется его вероятностью. Именно около числа этой вероятности группируются частоты события А. Вероятность любого события колеблется от 0 до 1,0. Если вероятность равна нулю, то событие считается невозможным. Если же вероятность равна единице, то событие определяется как достоверное. Вероятность позволяет прогнозировать случайные события. Она дает им количественную и качественную характеристику. При этом уровень неопределенности и степень риска уменьшаются. Противодействие также во многом определяет неопределенность хозяйственной ситуации. На любое действие всегда имеется противодействие. К противодействиям относятся катастрофа, пожар и другие природные явления, война, революция, забастовка, различные конфликты в трудовых коллективах, конкуренция, нарушения договорных обязательств, изменение спроса, аварии, кражи и т.п. Предприниматель в процессе своих действий должен выбрать такую стратегию, которая позволит ему уменьшить степень противодействия, что, в свою очередь, снизит и степень риска.

Математический аппарат для выбора стратегии в конфликтных ситуациях дает теория игр. Она позволяет предпринимателю или менеджеру лучше понимать конкурентную обстановку и свести к минимуму степень риска. Анализ с помощью приемов теории игр побуждает предпринимателя (менеджера) рассматривать все возможные альтернативы как своих действий, так и стратегии партнеров, конкурентов. Формализация данного процесса позволяет улучшить понимание проблеме целом. Таким образом, теория игр – собственно наука о риске. Теория игр позволяет решать многие экономические проблемы, связанные с выбором, определением наилучшего положения, подчиненного только некоторым ограничениям, вытекающим из условий самой проблемы.

Риск имеет математически выраженную вероятность наступления потери, которая опирается на статистические данные и может быть рассчитана с достаточно высокой степенью точности.

Чтобы количественно определить величину риска, необходимо знать все возможные последствия какого-нибудь отдельного действия и вероятность самих последствий.

Вероятность – это возможность получения определенного результата. Применительно к экономическим задачам методы теории вероятности сводятся к определению значений вероятности наступления событий и к выбору из возможных событий самого предпочтительного исходя из наибольшей величины математического ожидания. Иначе говоря, математическое ожидание какого-либо события равно абсолютной величине этого события, умноженной на вероятность его наступления.

Величина риска (степень риска) измеряется двумя критериями.

-          среднее ожидаемое значение;

-          изменчивость (колеблемость) возможного результата.

Среднее ожидаемое значение связано с неопределенной ситуацией.

Среднее ожидаемое значение – это средневзвешенное для всех возможных результатов, где вероятность каждого результата используется в качестве частоты или веса соответствующего значения. Среднее ожидаемое значение измеряет результат, который мы ожидаем в среднем.

Риском можно управлять, т.е. использовать различные приемы, позволяющие в определенной степени прогнозировать наступление рискового события и принимать меры к снижению степени риска. Эффективность организации управления риском во многом определяется классификацией риска.

ГЛАВА 3.  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Постановка задачи:

В магазине «Канцмир» продают  4 вида товара: карандаши, ручки, тетради и резинки. Также известны цены на них: карандаш – 6 руб., ручка – 12 руб., тетрадь – 20 руб., резинка – 3 руб. Исходя из условия задачи, была составлена математическая модель, где была разработана табличная структура задачи (таблица 2). Определить оптимальный минимальный убыток за день.

Решение:

В таблице 2 представлено количество проданного товара в определённый день.

Таблица 2 - Количество проданного товара