Построение и анализ регрессионных моделей

 

= -11,202 + 0,979I_t-1 + 0,00077S_t-4,                      (2.4)

 

Далее следует этап оценки значимости коэффициентов модели и оценки адекватности модели в целом.

Для тестирования гипотезы о значимости коэффициентов регрессии используется t-статистика (формула 2.5) [2]:

 

,                                                  (2.5)

где – среднеквадратическое отклонение оценки .

Нулевая гипотеза не отклоняется  на заданном уровне значимости , если , здесь есть -ная точка распределения Стьюдента с степенями свободы.

Рассчитаем стандартную  ошибку регрессионного уравнения, предварительно получив модельные значения ИПЦ согласно (2.4) и рассчитав квадраты остатков. В таблице 2.1 приводятся данные для расчета стандартной ошибки регрессионного уравнения 2.4.

 

 

 

 

Таблица 2.1 – Данные для  расчета стандартной ошибки уравнения  = -11,202 + +0,979I_t-1 + 0,00077S_t-4

Даты	Предсказанное	е	e^2
01.01.2009	108,6588	-2,12881	4,53184
01.02.2009	106,1755	0,69448	0,482303
01.03.2009	106,1165	1,213509	1,472603
01.04.2009	106,8219	0,91814	0,842982
01.05.2009	107,4692	0,030797	0,000948
01.06.2009	107,3254	0,524603	0,275208
01.07.2009	107,619	0,690985	0,47746
01.08.2009	108,6257	0,034301	0,001177
01.09.2009	109,2499	0,860105	0,73978
01.10.2009	110,4746	0,505229	0,255257
01.11.2009	112,2314	-0,66796	0,446166
01.12.2009	113,1297	-0,32196	0,103657
01.01.2010	115,4112	-1,84372	3,399312
01.02.2010	114,661	-0,20165	0,040663
01.03.2010	115,9458	-1,27725	1,631368
01.04.2010	116,8817	-1,88285	3,545133
01.05.2010	117,7562	-2,05264	4,213345
01.06.2010	119,0522	-1,48774	2,213365
01.07.2010	121,9163	-3,11861	9,725752
01.08.2010	124,6592	-4,79341	22,97675
01.09.2010	125,7206	-4,68768	21,97434
01.10.2010	127,1956	-4,44403	19,74944
01.11.2010	128,5615	-2,50569	6,278488
01.12.2010	131,4149	-2,97478	8,849295
01.01.2011	135,1417	-0,97673	0,954007
01.02.2011	140,0573	11,74219	137,879
01.03.2011	159,3565	5,526599	30,54329
01.04.2011	171,0951	-0,42661	0,181995
01.05.2011	179,7068	6,199727	38,43661
01.06.2011	195,7189	15,44725	238,6174
01.07.2011	220,9242	7,489139	56,08721
01.08.2011	239,1998	7,743695	59,96482
01.09.2011	258,2217	-5,65023	31,92505
01.10.2011	266,2336	-8,7875	77,2201
01.11.2011	270,8024	-9,39089	88,1889
сумма			874,2251

 

МНК-оценка дисперсии ошибок 

= 27,3195

 

Рассчитаем t-статистики для регрессионных коэффициентов  модели вида (2.1) (таблица 2.2). Расчеты проводятся по формулам (2.3) и (2.5)

 

Таблица 2.2 – t-статистика регрессионных коэффициентов модели = -11,202 + +0,979I_t-1 + 0,00077S_t-4

Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
-11,202469	3,523141	-3,17968
0,979669296	0,053384	18,35144
0,00077636	0,000378	2,051274

 

где стандартные ошибки коэффициентов получены как

 

Сравнивая расчетные  значения t-статистик с критическим  , делаем вывод о значимости каждого регрессионного коэффициента.

Коэффициент эластичности для модели множественной линейной регрессии определяется  в виде (2.6)

                                             (2.6)

Рассчитаем коэффициент  эластичности для коэффициента b₁

Следовательно, при изменении  ИПЦ в прошлом периоде на 1% ИПЦ в текущем периоде изменяется на 0,9491%.

Рассчитаем коэффициент  эластичности для коэффициента b₂

Следовательно, при изменении  лаговой переменной эмиссии наличных денег на 1% ИПЦ в текущем периоде  изменяется на 0,129%.

Коэффициент детерминации является важным самостоятельным показателем качества регрессионного уравнения и определяется соотношением (2.7)

,                                                  (2.7)

где – сумма квадратов, обусловленная включенными в модель объясняющими переменными (regression sum of squares),

– сумма квадратов остатков (error sum of squares),

– полная сумма квадратов (total sum of squares).

Проверка адекватности модели в целом означает проверку гипотезы об одновременном равенстве  нулю всех коэффициентов:

, [2].

Статистика критерия определяется по формуле (2/8)

 

.                          (2.8)

Гипотеза  отклоняется на заданном уровне значимости , если , где – %-ная точка распределения Фишера. Отклонение гипотезы означает, что среди множества объясняющих факторов есть хотя бы один, который оказывает существенное влияние на эндогенную переменную. Если гипотеза не отклоняется, то следуют признать модель неадекватной, т.е. ни одна из объясняющих переменных не оказывает существенного влияния на объясняемую переменную.

Проведем анализ адекватности модели (2.1) согласно критериям коэффициента детерминации и F-статистики Фишера. В таблице 2.3 приведены данные для расчета коэффициента детерминации.

 

 

 

Таблица 2.3 – Данные для  расчета коэффициента детерминации модели = -11,202 + +0,979I_t-1 + 0,00077S_t-4

	1318,689	1168,611
	1294,112	1344,56
	1261,227	1348,893
	1232,274	1297,578
	1249,182	1251,36
	1224,563	1261,554
	1192,581	1240,783
	1168,53	1170,876
	1071,499	1128,548
	1015,308	1047,76
	978,4579	937,1163
	902,1654	882,9283
	857,1023	752,5468
	805,6752	794,2684
	793,8424	723,5002
	775,3373	674,0269
	736,5891	629,3843
	639,0438	566,0392
	578,2142	437,959
	527,9893	330,6801
	475,7132	293,203
	403,6959	244,8646
	281,8365	203,9839
	207,4648	130,6189
	75,32123	59,32154
	80,20483	7,764438
	485,7339	272,6717
	774,2165	798,139
	1854,404	1358,885
	4667,945	2795,777
	7322,148	6096,55
	10836,74	9284,477
	12040,17	13312,07
	13133,7	15225,05
	14058,3	16373,41
сумма	86319,98	85445,76

 

 = 85445,76/86319,98=0,989872

Полученное значение коэффициента детерминации близко к 1, что свидетельствует о качестве полученной модели, т.е. оцененная регрессия на 98,98% отражает реальную зависимость между переменными.

Согласно формуле (2.7) рассчитаем F-статистику Фишера

F = (0,989872/2)/((1-0,989872)/32)=1563,822

Сравнивая расчетное  значение F-статистики с критическим, равным 3,32, делаем вывод об адекватности модели.

На рисунке 2.1 изображена диаграмма нормального распределения остатков.

Рисунок 2.1 – Диаграмма  нормального распределения остатков модели                     

= -11,202 + +0,979I_t-1 + 0,00077S_t-4

 

Визуально можно сделать  вывод о нормальности распределения  остатков. Подтвердим предварительные  выводы с помощью критерия Колмогорова-Смирнова. Так как его расчетное значение (d=0,076) не превышает критическое (при уровне значимости 0,05 dкр = 0,895), делаем вывод о нормальности распределения остатков, т.е. не отвержении нулевой гипотезы. Кроме этого, значение p для достаточно высоко, что также подтверждает сделанные выводы.

2.2 Построение и анализ степенной модели регрессии

Согласно правилам перехода от нелинейной формы регрессионной  модели к линейной, построим регрессионное уравнение вида

 

 = b₀ + b₁lnI_t-1 + b₂lnS_t-4                                 (2.9)

 

В качестве промежуточных расчетов приведен результат расчета обратной матрицы, из которой необходимы будут элементы главной диагонали для расчета ошибок коэффициентов регрессии.

 

	101,8094	11,56553	-15,7639
=	11,56553	2,30349	-2,27272
	-15,7639	-2,27272	2,675813

 

Ниже приводятся рассчитанные регрессионные коэффициенты.

b0 =	-0,82768
b1 =	0,987228
b2  =	0,091202

 

Было получено регрессионное  уравнение вида (2.10)

 

ln = -0,827 + 0,987lnI_t-1 + 0,091lnS_t-4,                      (2.10)

 

Далее следует этап оценки значимости коэффициентов модели и  оценки адекватности модели в целом.

Рассчитаем стандартную  ошибку регрессионного уравнения, предварительно получив модельные значения ИПЦ  согласно (2.10) и рассчитав квадраты остатков. В таблице 2.4 приводятся данные для расчета стандартной ошибки регрессионного уравнения 2.10.

 

 

Таблица 2.4 – Данные для расчета стандартной ошибки уравнения ln = -0,827 + 0,987lnI_t-1 + 0,091lnS_t-4

Даты	Предсказанное ln	е	e^2
01.01.2009	4,68251	-0,01408	0,000198
01.02.2009	4,66824	0,003373	1,14E-05
01.03.2009	4,668596	0,007313	5,35E-05
01.04.2009	4,674658	0,005063	2,56E-05
01.05.2009	4,680146	-0,00265	7,05E-06
01.06.2009	4,678577	0,002165	4,69E-06
01.07.2009	4,681445	0,003553	1,26E-05
01.08.2009	4,68942	-0,0012	1,43E-06
01.09.2009	4,694456	0,007024	4,93E-05
01.10.2009	4,706259	0,00309	9,55E-06
01.11.2009	4,719815	-0,00522	2,73E-05
01.12.2009	4,726995	-0,00131	1,72E-06
01.01.2010	4,744172	-0,01177	0,000139
01.02.2010	4,741913	-0,00169	2,87E-06
01.03.2010	4,752167	-0,01012	0,000102
01.04.2010	4,758305	-0,01338	0,000179
01.05.2010	4,764281	-0,01325	0,000176
01.06.2010	4,77364	-0,00665	4,43E-05
01.07.2010	4,794842	-0,01742	0,000303
01.08.2010	4,812628	-0,02626	0,000689
01.09.2010	4,821535	-0,02547	0,000649
01.10.2010	4,83264	-0,02248	0,000505
01.11.2010	4,845086	-0,00836	6,99E-05
01.12.2010	4,869497	-0,01403	0,000197
01.01.2011	4,894399	0,004671	2,18E-05
01.02.2011	4,934316	0,088244	0,007787
01.03.2011	5,065093	0,040144	0,001612
01.04.2011	5,142094	-0,00237	5,62E-06
01.05.2011	5,188231	0,037014	0,00137
01.06.2011	5,276736	0,075909	0,005762
01.07.2011	5,404183	0,026973	0,000728
01.08.2011	5,486541	0,022618	0,000512
01.09.2011	5,566475	-0,03478	0,00121
01.10.2011	5,596652	-0,04584	0,002101
01.11.2011	5,614893	-0,0488	0,002381
сумма			0,026949