Построение и исследование регрессионных моделей

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

Исходные данные………………………………………………………………..3

Задание 1…………………………………………………………………………4

Задание 2…………………………………………………………………………5

Задание 3…………………………………………………………………………5

Задание 4…………………………………………………………………………8

Задание 5…………………………………………………………………………9

Задание 6………………………………………………………………………....12

Задание 7…………………………………………………………………………13

Задание 8…………………………………………………………………………14

Задание 9…………………………………………………………………………15

Задание 10………………………………………………………………………..15

Задание 11………………………………………………………………………..16

Задание 12………………………………………………………………………..17

Задание 13………………………………………………………………………..19

Задание 14………………………………………………………………………..29

Задание 15………………………………………………………………………..39

Задание 16………………………………………………………………………..39

Задание 17………………………………………………………………………..40

Заключение………………………………………………………………………42

Список литературы……………………………………………………………...43

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Эконометрика – это самостоятельная научная дисциплина, которая с помощью математико-статических методов и современных информационных технологий занимается разработкой и исследованием математических моделей различных экономических объектов, путем обработки результатов экспериментальных наблюдений.

 Цель курсовой работы: практическое изучение и применение основных методов корреляционного и регрессионного анализа.

Данная курсовая работа предлагает исследовать автомобиль какой-либо зарубежной фирмы (в нашем  случае Volkswagen), в качестве исходных данных представлены следующие характеристики: расход горючего, мощность двигателя и масса автомобиля. При исследовании используются основные методы корреляционного и регрессионного анализа.

Исходные данные

Объект исследования: автомобильное производство ведущих зарубежных фирм.

Фирма	Номер в задании
Volkswagen	1
Ford	2
Masda	3
Datsun	4
Dodge	5
Chevrolet	6
Plymouth	7
Toyota	8

 

 

Цель исследования:  выявить, аналитически описать и обосновать зависимость расхода горючего от массы автомобиля и мощности его двигателя.

Регрессионные модели,  используемые в процессе выполнения работы:

Регрессионная модель	Номер в задании
y= 0+ 1x1+ 2x2+ 3x12+e	1
y= 0+ 1x1+ 2x2+ 3x22+e	2
y= 0+ 1x1+ 2x2+ 3x1x2+e	3
y= 0+ 1x1+ 2x2+ 3 +e	4
y= 0+ 1x1+ 2x2+ 3 +e	5

 

В этой таблице : y – расход горючего; x₁ – мощность двигателя; x₂ – масса автомобиля; _i, i=0, 1, 2, 3, – параметры регрессии, e – экспериментальная ошибка.

Задание 1

В соответствии с ниже приведенной таблицей  вариантов  заданий по назначенному Вам варианту задания определите фирму и регрессионную модель, подлежащие последующему исследованию.

Фирма	Модель
	1	2	3	4		5
1	1	2	3	4		5
2	6	7	8		9	10
3	11	12	13	14		15
4	16	17	18	19		20
5	21	22	23	24		25
6	26	27	28	29		30
7	31	32	33	34		35
8	36	37	38	39		40

 

Исходя из варианта задания, имеем для исследования фирму №1: Volkswagen и регрессионную модель №2: y= ₀+ ₁x₁+ ₂x₂+ ₃x₂²+e

Задание 2

Из прилагаемых к настоящим указаниям данных по зарубежным фирмам выделите относящиеся к Вашей фирме данные и систематизируйте их в форме таблицы

 

i	1	2	.  .  .	n
x1	x11	x12	.  .  .	x1n
x2	x21	x22	.  .  .	x2n
y	y1	y2	.  .  .	yn

 

Здесь: i – номер элемента  табличной выборки  (конкретной  модели автомобиля вашей фирмы);  n – объем выборки, индивидуальный для каждой фирмы; x_1i, x_2i, y_i – соответствующие табличные данные.  Принцип,  по которому осуществляется нумерация табличных данных, не существен и определяется вами самостоятельно.

Составим таблицу применительно к нашему случаю:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x1	48	71	71	76	48	48	62	74	74	52
x2	1985	1990	1925	2144	2085	2335	1845	2190	1980	2130
y	43.1	31.5	31.9	41.5	44.3	43.4	29.8	33	36	44

 

где x_1i, x_2i, y_i – соответственно мощность, масса и расход топлива для автомобилей Volkswagen различных моделей (n:=10).

Задание 3

Проверьте наличие зависимости  переменной y от аргументов x₁,x₂. Для упрощения анализа на начальном этапе исследования выявите наличие (или отсутствие) этой зависимости  отдельно по каждой экзогенной переменной  x₁ и x₂.  Соответствующий анализ проводится по следующей схеме.

На основании экспериментальных  данных находятся эмпирические коэффициенты корреляции и   эндогенной переменной  y с каждой из экзогенных переменных x₁ и x₂ :

=   , k=1,2.        (1)

Предположим, что на эндогенную переменную у влияют экзогенные переменные х1 и х2. Если у и х - гауссовские величины, то показателем тесноты их связи является коэффициент корреляции. Если он равен нулю, то гауссовские величины некоррелированы (независимы). При негауссовских величинах, если коэффициент корреляции равен нулю, величины могут оказаться зависимыми. Коэффициент корреляции используется как своеобразный индикатор связи и при негауссовских величинах, и в случае, если не известно с какими величинами мы имеем дело, как в данной работе.

   На практике истинное значение коэффициента корреляции вычислить не удается, т. к. неизвестна плотность вероятности f(x,y). Поэтому проводят эксперимент и по  полученным данным находят эмпирическую оценку коэффициента корреляции r.

Рассчитаем математическое ожидание и коэффициенты корреляции между эндогенной переменной у и экзогенными х1 и х2:

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью вычисленных эмпирических коэффициентов корреляции

находятся соответствующие значения случайной величины

g_k = ~ t(n-2),       k=1, 2.                                                       (2)

Определим эти значения:

 

 

Далее задаются доверительной вероятностью 1-a и по таблицам или с помощью Mathcad-программы находят  100a/2-процентную точку w_100a/2 распределения Стьюдента с n-2 степенями свободы.

Мы найдем 100a/2-процентную точку с помощью встроенной функции Mathcad:

    

 

 

Теперь нужно ввести 2 гипотезы:

• H0: величины хk и у некоррелированы      
• H1: величины хk и у коррелированны

 Если окажется, что при определенном k  g_k>w_100a/2, то с вероятностью a ошибиться гипотеза об отсутствии корреляционной связи величины y и соответствующей этому k экзогенной переменной отвергается как несоответствующая экспериментальным данным. При противоположном неравенстве с вероятностью 1-a считается справедливой гипотеза об отсутствии корреляционной связи эндогенной переменной и k-й экзогенной переменной как непротиворечащая экспериментальным данным.

Сравним значения g_k и w_100a/2 :

следовательно с вероятностью α ошибиться отвергаем гипотезу Н0 об отсутствии корреляционной связи между величиной у и экзогенной переменной х1 как несоответствующую экспериментальным данным

с вероятность (1-α) считаем справедливой гипотезу Н0 об отсутствии корреляционной связи между эндогенной величиной у и экзогенной переменной х2 как непротиворечащую экспериментальным данным

Иначе говоря, мы получили:

1. Гипотеза о корреляционной связи между расходом топлива (у) и мощностью двигателя (х1) отвергается (т. е. эти величины признаются некоррелированными). Этот вывод мы делаем с вероятностью a ошибиться. Тогда коэффициент корреляции r1 можно считать значимым.
2. Гипотеза о корреляционной связи между расходом топлива (у) и массой автомобиля принимается с вероятность 1-a правильности решения. Коэффициент корреляции r2 является незначимым.

Задание 4

Постройте доверительные  интервалы для истинных коэффициентов  корреляции r_yk, k=1, 2, воспользовавшись следующим определением:  с доверительной вероятностью 1-a выполняется

thc_k<r_yk£ thd_k,  k=1, 2,                                                                              (3)

где использованы обозначения

c_k, d_k = 0.5ln ± u_a/2 - ,                                              (4)

thb = –  гиперболический тангенс,

u_a/2 – a/2квантиль стандартного гауссовского распределения N(0, 1).

По имеющимся формулам и ранее полученным значениям  определим доверительные интервалы: