Расчет надежностных параметров системы

 

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………..…2 Задание……………………………………………………………………….…....7 Рачет……………………………………………………………………………....8             2.1 Определение интенсивности отказов блока ……………….8                 2.2   Определение вероятности безотказной работы блока ……………….8                 2.3    Определение вероятности безотказной работы схемы……………8           2.4   Определение наработки до отказа блока…………………..9                      2.5 Определение средней наработки до отказа схемы………………….9         2.6 Построение графа переходов……………………………….9                         2.7 Система дифференциальных уравнений графа переходов ……..10           2.8 Система линейных уравнений графа переходов………………11               2.9 Определение коэффициента готовности………………………..13               3. Расчет………………………………………………………………………...14                                  Список литературы………………………………………………………….….15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Для любого объекта на каждом этапе его жизни задаются определенные технические требования.  Желательно, чтобы объект соответствовал этим требованиям всегда. Однако в объекте могут возникнуть неисправности, нарушающие указанные соответствия. Тогда, задача состоит в том, чтобы воссоздать первоначальное или восстановить нарушенное неисправностью соответствие объекта техническим требованиям.

Решение этой задачи невозможно без эпизодического или непрерывного состояния объекта.

Состояние объекта определяется его надежностью.

Надежность – это свойство объекта выполнять заданные функции сохраняя во времени значение установленных эксплуатационных показателях  в заданных режимах и условиях использования, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования.

Исправное состояние – это такое состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным научно-технической документацией (НТД).

Неисправное состояние – это такое состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований, установленных НТД.

Работоспособное состояние – это такое состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значение заданных параметров в пределах, установленных НТД.

Неработоспособное состояние – это такое состояние объекта, при котором значение хотя бы одного заданного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям, установленным НТД.

Отказ – это дефект, связанный с необратимыми нарушениями характеристик изделия, приводящих к нарушению его работоспособного состояния.

Безотказность – это свойство изделия непрерывно сохранять работоспособность в течении некоторого времени.

Ремонтопригодность – это свойство изделия, заключающегося в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, повреждений и установлений последствии путем проверки, ремонта и технического обслуживания.

Показатели безотказной работы

 

1. Вероятность безотказной работы.  P(t) – это вероятность того, что в заданном интервале времени t в изделии не возникает отказа, т.е.

= 1 - ,

где - вероятность появления отказа в течение времени t.

    Очевидно, что если , . Функция P(t) является монотонно убывающей функцией, т.е. в процессе эксплуатации и хранения надежность только убывает. Функция Q(t) монотонно возрастающая.

     Для определения P(t) используется следующая статистическая оценка

        где N – число изделий, поставленных на испытание;

             N0 – число изделий, отказавших в течении времени t.

2. Вероятность отказа: .
3. Интенсивность отказа λ(t) – это условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определенного рассмотренного момента времени, при условии, что до этого момента отказ не возник.

Для определения λ(t) используется следующая статистическая оценка:

где n(∆t) – число отказавших изделий в интервале времени (∆t);

     Nср(∆t) – среднее число исправных изделий в интервал времени (∆t).

4. Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) T – это математическое ожидание наработки до первого отказа определяется так:

Показатели ремонтопригодности

 

1. Вероятность восстановления S(t) – это вероятность того, что отказавшее изделие будет восстановлено в течение времени t.

Для расчета S(t) используется статическая оценка

,

 где nв – число изделий время восстановления которых было меньше заданного времени t;

       Nов – число изделий, оставшихся на восстановлении.

2. Интенсивность восстановления µ(t) – условная плотность распространения времени восстановления для момента времени t при условии, что до этого момента восстановление изделия не произошло.

Для определения µ(t) применима статическая оценка

 ,

 где nв (∆t) – число восстановленных изделий за время (∆t);

       Nвср (∆t) – среднее число изделий, которые не были восстановлены в течение времени (∆t).

3. Среднее время восстановления Tв – представляет собой математическое ожидание времени восстановления

.

4. Коэффициент готовности Кг(t) – это вероятность того, что изделие работоспособно в произвольный момент времени t. В стационарном режиме (t→∞)

.

 

Законы распределения случайных величин, использующихся в теории надежности

Время между соседними отказами для элементов аппаратуры – непрерывная случайная величина, которая характеризуется некоторым законом распределения. Наиболее часто используются законы распределения:

1.Экспоненциальное распределение

2. Распределение Релея.

3. Нормальное распределение.

4. Распределение Вейбулла.

5. Гамма- распределение.

  Экспоненциальный закон распределения.

        Основные показатели надежности при экспоненциальном распределении могут быть оценены, исходя из следующих зависимостей:

;    ;

;       ,

где - параметр экспоненциального распределения. Если λt <<1, то , .

     Определяющее свойство  экспоненциального распределения -вероятность безотказной работы в интервале (t, t+τ) не зависит от времени  предшествующей работы t, а зависит только от длины интервала τ, т.е. λ(t)= λ.

Методы расчета надежности

   Существуют различные методы  для восстанавливаемых и невосстанавливаемых  изделий, надежность которых зависит от эксплуатации.

Для изделий без учета восстановлений используют 2 метода:

- графовероятностный метод;

- логико-вероятностный метод.

   Критерием отказа любой  технической системы является  нарушение способности этой системы  выполнять свое назначение или  не соответствовать значениям  выходных параметров некоторым  требованиям.

При создании математической модели структуры технической системы критерий отказа обычно определяется через состояние элементов, составляющих данную систему. В этом случае каждый из элементов системы предполагается простейшим, т.е. может находиться или в состоянии работоспособности, или в состоянии отказа. Состояние системы определяется состоянием ее элементов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задание

Задана схема устройства. Число элементов в каждом блоке n=10, все блоки состоят из равнонадежных элементов с  λ=1*10-6 1/час, интенсивность восстановлений µ=1*10-3 1/час. Предполагается, что вероятность отказов и вероятность восстановлений подчиняются экспоненциальному закону.

Требуется построить граф переходов и по нему определить надежностные параметры схемы P0(t), T0 и Кг за время t=1000 часов.

Ремонт происходит одной бригадой.

Рис.1.1 Схема устройства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет
1. Определение интенсивности отказов блока

  = n 

  = 1* 10-6 *10 = 1*10-5

2. Определение вероятности безотказной работы блока

=

      = P1 = P2 = P3 = 2.71-1*10 *1000   0.99008

 

3. Определение вероятности безотказной работы схемы

 

а) Преобразование смешанной структуры схемы. Первый этап.

Р12 = 1-(1-Р1)*(1-Р2)

Рис.2.1 Преобразование схемы в первый этап

б) Преобразование смешанной структуры схемы. Второй этап.

 PСХ = Р12 * Р3

 P0 – вероятность безотказной работы схемы.

P0 = PСХ

PСХ = P3*(1-(1-Р1)*(1-Р2)) = (1-(1- )*(1- )) =

 (1- - + )) = (2 - ) =

2 - .

 

PСХ = 2 * 2.71-2*10 *1000   -  2 * 2.71-3*10 *1000  =  2 * 2.71-0.02   -  2.71-0.03

2*0.98026 – 0.97053 = 1.96052 – 0.97053 = 0.98999.

 

4. Определение наработки до отказа блока

 

  = 1*105 = 1000 часов.

 

5. Определение  средней наработки до отказа схемы

(2 - )dt = 2 dt - 3 dt = -

- = - 66667 часов.

 

6. Построение графа переходов

 

  Во всех дальнейших вычислениях за принимаем .

  Список состояний

P0 – все три блока исправны, система работоспособна;

P1 – отказ 1 блока, система работоспособна;

P2 – отказ 2 блока, система работоспособна;

P3 – отказ 3 блока, система неработоспособна;

P4 – отказ 1и 2 блока, система неработоспособна;

P5 – отказ 1 и 3 блока, система неработоспособна;

P6 – отказ 2 и 3 блока, система неработоспособна;

P7 – отказ трех блоков, система неработоспособна;

 Рис.2.2 Граф переходов

 

7. Система дифференциальных уравнений графа переходов

 

   На основе графа переходов  состояний составим систему дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

=–3λP0(t) +µP1(t)+µP2(t)+µP3(t)

=λP0(t) – µP1(t) – 3λP1(t)+µP2(t)+ µP4(t)+ µP5(t)

= λP0(t) + µP2(t) –2λ P2(t)+ µP4(t)+ µP6(t)

= λP0(t) –µP3(t) –2λ P3(t) + µP5(t)+ µP6(t)

= λP2(t) –2µ P4(t) + λP1(t)

= λP3(t) –2µ P5(t) + λP1(t)

= λP2(t) –2µ P6(t)+ λ P3(t) – λ P6(t) + µP7(t)

=λ P6(t) – 2µ P7(t) + λP1(t)

P0(t)+ P1(t)+ P2(t)+ P3(t)+ P4(t)+ P5(t)+ P6(t)+ P7(t)=1                  

Система находится в стационарном режиме отказов и восстановлений (процесс с отражающим экраном).

Тогда следует следующее утверждение: при t→∞ производные равны 0, в результате вместо системы линейных дифференциальных уравнений получается система линейных алгебраических уравнений.

8. Система линейных уравнений графа переходов

 

0= –7λP0+µP1+µP2+µP3                                  

0=λP0–3λ P1–µP1+µP4+µP6

0=λP0–3λ P2–µP2+µP4+µP5

0=λP0–3λ P3–µP3+µP5+µP6

0= λP0+λP1+ λP2– λP4–2µP4+µP7

0= λP0+λP2+ λP3– λP5–2µP5+µP7  

0= λP0+λP1+ λP3– λP6–2µP6+µP7

0= λP0+λP1+ λP2+ λP3+λP4+ λP5+ λP6–3µP7

1 =P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7                   

 

Решая  систему линейных уравнений с использованием теоремы Крамера, получим следующие значения вероятностей системы при

  λ=10-5 , µ=10-3

= 1.711083*10-20

1 = 1.660642*10-20

2 = 1.652603*10-22

3 = 1.664661*10-22

4 = 1.664661*10-22

5 = 1.658632*10-24

6 = 1.658632*10-24

7 = 2.072630*10-24

8 = 8.366645*10-25

 

Pi(t) = , где i – номер состояния системы.

P0(t) =0.97052049

P1(t) =0.00965822

P2(t) =0.00972870

P3(t) =0. 00972870

P4(t) =0.00009693

P5(t) =0.00009693

P6(t) =0.00012113

P7(t) =0.00004890

 

 

 

 

9. Определение  коэффициента готовности

 

Коэффициент готовности схемы равен сумме работоспособных состояний системы:

Кг  =  Pi(t), где

n – число работоспособных состояний;

Pi(t) – вероятность j-ого работоспособного состояния.

 

К1  =  P0 + P1+ P2 = 0.97052049 + 0.00965822 + 0.00972870 = 0.98990741

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Результаты

 

Название	Значение
Pбл - вероятность безотказной работы	0.99008
P0(t) - вероятность безотказной работы схемы	0.98999
Тбл - средняя наработка до отказа блока	10 000 часов
Т0- средняя наработка до отказа схемы	66 667 часов
Кг – коэффициент готовности схемы	0.98990741