Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования

Мощность поставщиков	Мощность потребителей
	136		136		102		136		102		ui
272	5		4		3	102	4	136	0	34	0
	2		2		0		0		0
238	3	34	2	136	5		5		0	68	0
	0		0		2		1		0
102	1	102	6		3		2		0		-2
	0		6		2		0		0
vj	3		2		3		4		0		5576

 

Так как все элементы a_ij таблицы 9 положительны, то найденный опорный план является оптимальным. При этом значение целевой функции составляет 5576 ед.

 

7 Решение задач ЛП  с использованием программ «Excel»

 

Решение задач, описываемых  экономико-математическими моделями линейного программирования, как  правило, осуществляется универсальным  симплексным методом.

Он достаточно трудоемок. Поэтому выполнение расчетов рекомендуется  в среде MS Excel.

Технологию решения  задач линейного программирования в среде MS Excel продемонстрируем на примере решения задачи о составлении плана производства, обеспечивающего получение максимальной прибыли.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

Целевая функция: F(x) = 9x₁ + 5x₂ + 15x₃ + 14x₄ -> max                      (64)

Ограничения:                   x₁ + x₂ + x₃ + x₄ ≤ 2

                                           2x₁ + x₂ + 6x₃ + 4x₄ ≤ 10                               

                                                  x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0

 

Решение задач линейного  программирования в среде MS Excel осуществляется с помощью надстройки «Поиск решения». Для решения задачи необходимо:

1) создать форму для  ввода условий задачи;

2) указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки);

3) ввести исходные  данные;

4) ввести зависимость  для целевой функции;

5) ввести зависимости  для ограничений;

6) указать назначение  целевой функции (установить целевую  ячейку);

7) ввести ограничения;

8) ввести параметры  для решения задачи линейного  программирования.

Для рассматриваемого примера  продемонстрируем технологию решения  задачи.

1. В задаче оптимальные значения вектора X = (х₁, х₂ х₃, х₄) будут помещены в ячейках В8:Е8, оптимальное значение целевой функции – в ячейке B10 = СУММПРОИЗВ(B8:Е8;С5:F5).

Ограничения записываем в ячейки В12= СУММПРОИЗВ(B8:Е8;С3:F3) и В13= СУММПРОИЗВ(B8:Е8;С4:F4).

2. Введем исходные данные в созданную форму. Получим результат, показанный на рисунке 4.

Рисунок 4 – Ввод исходных данных в созданную форму

 

Запуск «Поиска решения». После выбора команд Сервис => Поиск  решения появится диалоговое окно «Поиск решения» (рисунок 5).

Рисунок 5 - Ввод данных в диалоговое окно «Поиск решения»

 

В диалоговом окне «Поиск решения» есть три основных параметра:

- Установить целевую ячейку.

- Изменяя ячейки.

- Ограничения.

Сначала нужно заполнить  поле «Установить целевую ячейку». Во всех задачах для средства Поиск  решения оптимизируется результат  в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или же установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск решения – это параметр Изменяемые ячейки – это те ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К изменяемым ячейкам предъявляется два основных требования: они не должны содержать формул и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемых ячеек.

Третий параметр, который  нужно вводить для Поиска решения  – это Ограничения.

После ввода всех параметров в диалоговое окно «Поиск решения» нажимаем на кнопку «Выполнить» и  получаем решение задачи (рисунок 6).

Рисунок 6 – Результаты решения задачи

 

Полученное решение  означает, что максимальную прибыль 29 руб. предприятие получает при производстве 1 ед. продукции Р₃ и 1 единиц продукции Р₄. Аналогичное решение получаем при решении задачи с помощью симплекс метода, следовательно задача решена правильно.

Заключение

 

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной  структуры производства, управления войсками, углублением общественного  разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования хозяйственного и военного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству хозяйственной жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства. Научного подхода требует и решение тактических и стратегических задач, руководство военными операциями. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение как в экономических исследованиях и планировании, так и в решении военных тактических задач. Этому способствует развитие таких разделов математики как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен большой опыт постановки и решения экономических и тактических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального управления. Ярким примером применения современных математических методов является война Америки с Ираком и «Буря в пустыне». Там быстро развивается экономика и производство, где широко используются математические методы.

 

Список используемой литературы

 

1. Кундышева Е.С. Экономико-математическое моделирование: Дашков и Ко – 2008, с. 407

2. Коршунова Н.И., Пласунов В.С. Математика в экономике. Учебное пособие. М.: Вита-Пресс, 1996.

3. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В.Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.

4. Орлова И.В., Половников В.А.: Экономико-математические методы и модели: Компьютерное моделирование: Вузовский учебник - 2008.