Решение транспортной задачи методом потенциалов

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ФИЛИАЛ В  Г. НАБЕРЕЖНЫЕ ЧЕЛНЫ

 

 

ФАКУЛЬТЕТ ПМ и ИТ

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

ТЕМА:

«Решение транспортной задачи

 методом  потенциалов»

 

 

 

 

 

Выполнил

студент_________________________________

                               ^Ф.И.О

группа_____________курс_________________

 

 

Научный руководитель

________________________________________

                                     ^Ф.И.О.

________________________________________

                                   ^{ученая степень,  ученое звание}

 

 

 

 

Члены комиссии по защите курсовой работы

 

Ф.И.О  подпись

 

Ф.И.О  подпись

 

Ф.И.О  подпись

 

 

Оценка ____________________

Дата ______________________

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.

Типичная распределительная  задача:

Таблица №1

	Работы, которые нужно выполнить						Объём
Ресурсы	J1	J2	...	Jj	...	Jn	имеющихся ресурсов
R1 R2 ... Ri ... Rm	C1,1 C2,1 ... Ci,1 ... Cm,1	C1,2 C2,2 ... Ci,2 ... Cm,2	... ... ... ... ... ...	C1,j C2,j ... Ci,j ... Cm,j	... ... ... ... ... ...	C1,n C2,n ... Ci,n ... Cm,n	b1 b2 ... bi ... bm
Объём требуемых  ресурсов	a1	a2	...	aj	...	an

 

Большинство распределительных  задач можно представить в  виде матриц, приведённых в таблице №1. Элементы С_i,j, стоящие в клетках матрицы, соответствуют затратам или доходу, отвечающим выделению одной единицы ресурса R_i на работу J_j . Величины С_i,j могут быть независимыми или зависимыми. Так например, затраты, обусловленные назначением одной автомашины на некоторый маршрут доставки грузов, не зависят от того, какие машины назначены на обслуживание других маршрутов. В то же время, при распределении средств между подразделениями фирмы доход от затрат определённого количества денег одним её подразделением (скажем производством) обычно зависит от того, какие средства будут затрачены другими подразделениями (скажем отделом сбыта). В теории распределения рассматриваются преимущественно задачи с независимыми затратами и доходами. Это объясняется не тем, что такие задачи более важны, а лишь тем, что для них значительно легче строить модели и получать решения.

Если затраты (или доход), определяемые объёмом X_i,j ресурса i, выделенного на выполнение работы J_j, равны X_{i,j *} C_i,j, то имеем линейную распределительную задачу. Распределительные задачи с независимыми линейными функциями затрат (или дохода) стали объектом наиболее интенсивных исследований в виду того, что для их решения были развиты эффективные методы линейного программирования. Однако имеются также методы решения некоторых нелинейных распределительных задач, в том числе методы, основанные на линейной аппроксимации.

Распределение ресурсов для одного периода времени может  влиять на распределения ресурсов для последующих периодов, а может не оказывать на них никакого влияния. Если каждое из последовательности распределений не зависит от всех остальных, то такая задача называется статистической, в противном случае имеем динамическую распределительную задачу. Статистические задачи исследованы в большей степени, чем динамические, но для решения некоторых типов динамических задач успешно применяются методы линейного динамического и динамического программирования. Для решения некоторых динамических задач применяют методы стохастического программирования. В таких задачах принятие решений основано на вероятностных оценках будущих значений параметров, имеющих фиксированное распределение вероятностей.

Основные методы решения  распределительных задач, в частности  линейного программирования, построены на допущении, что объёмы имеющихся в наличии ресурсов (b_i), требуемые объёмы (a_j ) и затраты (C_i,j ) точно известны.

Если общий объём  наличных ресурсов S b_i (i=1...m) равен общей потребности в них S a_j (j=1...n), то имеет место сбалансированная (закрытая) распределительная задача. Если же S a_j  не равен S b_i, то задача называется несбалансированной (открытой). Если ресурсы можно разделить между работами, то некоторые работы можно выполнять с помощью различных комбинаций ресурсов. Если работы и ресурсы измеряются в единицах одной и той же шкалы, то такие задачи обычно называют транспортными или задачами разложения. Если же работы и ресурсы выражаются в различных единицах измерениях, то задача называется общей распределительной задачей. Таким образом, транспортная задача является частным случаем общей распределительной задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Транспортная задача.

1.1. Постановка  задачи и ее математическая  модель.

 

Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m пунктов отправления А₁, А₂, ..., А_m, в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно а₁, а₂, ..., а_m единиц. Имеется n пунктов назначения В₁, В₂, ..., В_n , подавшие заявки соответственно на b₁, b₂, ..., b_n единиц груза. Известны стоимости С_i,j перевозки единицы груза от каждого пункта отправления А_i до каждого пункта назначения В_j. Все числа С_i,j, образующие прямоугольную таблицу, заданы. Требуется составить такой план перевозок, (откуда, куда и сколько единиц поставить) чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Если  то транспортная задача называется задачей закрытого типа, в противном случае - открытого типа.  

С математической точки зрения транспортная задача имеет следующий вид:

                             

 

 

где x_ij количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j, а С_{i j} издержки (стоимость перевозок со склада i потребителю j).

Рассмотрим сначала  решение закрытой транспортной задачи, т.е. когда сумма всех заявок равна сумме всех запасов.

1.2. Составление  опорного плана.

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные  способы. Например, способ “северо-западного угла”, способ минимальной стоимости по строке, способ минимальной стоимости по столбцу и способ минимальной стоимости таблицы. Рассмотрим простейший, так называемый способ северо-западного угла. Пояснить его проще всего будет на конкретном примере:

Условия транспортной задачи заданы транспортной таблицей.

Таблица №2

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы аi
А1	10	8	5	6	9	48
А2	6	7	8	6	5	30
А3	8	7	10	8	7	27
А4	7	5	4	6	8	20
Заявки  bj	18	27	42	12	26	125

 

Будем заполнять таблицу  перевозками постепенно, начиная  с левой верхней ячейки (“северо-западного угла“ таблицы). Будем рассуждать при этом следующим образом. Пункт В₁ подал заявку на 18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 48, имеющегося в пункте А₁ и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). После этого заявка пункта В₁ удовлетворена, а в пункте А₁ осталось ещё 30 единиц груза. Удовлетворим за счёт них заявку пункта В₂ (27 единиц), запишем 27 в клетке (1,2), оставшиеся 3 единицы пункта А₁ назначим пункту В₃. В составе заявки пункта В₃ остались неудовлетворёнными 39 единиц. Из них 30 покроем за счёт пункта А₂, чем его запас будет исчерпан, и ещё 9 возьмём из пункта А₃. Из оставшихся 18 единиц пункта А₃ 12 выделим пункту В₄, оставшиеся 6 единиц назначим пункту В₅, что вместе со всеми 20 единицами пункта А₄ покроет его заявку. На этом распределение запасов закончено, каждый пункт назначения получил груз согласно своей заявки. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце — заявке. Таким образом, нами сразу же составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является опорным решением транспортной задачи:

Таблица №3

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы аi
А1	10           18	8           27	5             3	6	9	48
А2	6	7	8           30	6	5	30
А3	8	7	10             9	8           12	7             6	27
А4	7	5	4	6	8           20	20
Заявки  bj	18	27	42	12	26	125

 

Составленный нами план перевозок не является оптимальным  по стоимости, так как при его построении мы совсем не учитывали стоимость перевозок С_i,j .

Другой способ — способ минимальной стоимости по строке основан на том, что мы распределяем продукцию от пункта A_i не в любой из пунктов B_j, а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов и находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов B_j. Во всем остальном этот метод схож с методом “северо-западного угла”. В результате опорный план, составленный способом минимальной стоимости по строке, выглядит как показано в таблице №4.

При этом методе может  получиться, что стоимости перевозок C_i,j и C_i,k от пункта A_i к пунктам B_j и B_k равны. В этом случае с экономической точки зрения выгоднее распределить продукцию в тот пункт, в котором заявка больше. Так например, в строке 2 C_2,1 = C_2,4, но заявка b₁ больше заявки b₄, поэтому 4 единицы продукции мы распределим в клетку (2,1).

Таблица №4

ПН ПО	В1	В2	В3	В4	В5	Запасы аi
А1	10	8	5          42	6            6	9	48
А2	6            4	7	8	6	5          26	30
А3	8	7          27	10	8	7            0	27
А4	7           14	5	4	6             6	8	20
Заявки  bj	18	27	42	12	26	125

 

Способ минимальной  стоимости по столбцу аналогичен предыдущему способу. Их отличие состоит в том, что во втором способе мы распределяем продукцию от пунктов B_i к пунктам A_j по минимальной стоимости C_j,i. Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно более близок к оптимальному решению. Так, в нашем примере общие затраты на транспортировку по плану, составленному первым способом, F₀ = 1039, а по второму — F₀ = 723.

Клетки таблицы, в которых  стоят ненулевые перевозки, являются базисными. Их число должно равняться m + n - 1. Необходимо отметить также, что встречаются такие ситуации, когда количество базисных клеток меньше чем m + n - 1. В этом случае распределительная задача называется вырожденной и следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю. Так, например, в таблице №4:

                                   m + n - 1 = 4 + 5 - 1 = 8, 

а базисных клеток 7, поэтому нужно в одну из клеток строки 3 или столбца 2 поставить значение “0”. Например, в клетку (3,5).

Составляя план по способам минимальных стоимостей, в отличие  от плана по способу “северо-западного  угла”, мы учитываем стоимости перевозок C_i,j, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным.