Сетевые модели планирования и управления

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы таблицы 1. При этом работы следует последовательно записывать в гр. 2: сперва начинающиеся с номера 1, затем с номера 2 и т.д.

В первой графе поставим число Кпр, характеризующее количество работ, непосредственно предшествующих событию, с которого начинается рассматриваемая работа.

Для работ, начинающихся с номера «1», предшествующих работ нет. Для работы, начинающейся на номер «k», просматриваются все верхние строчки второй графы таблицы и отыскиваются строки, оканчивающиеся на этот номер. Количество найденных работ записывается во все строчки, начинающиеся с номера «k». Например, для работы (5,8) в гр. 1 поставим цифру 2, так как в гр. 2 на номер 5 оканчиваются две работы: (2,5) и (4,5).

Заполнение таблицы начинается с расчета раннего срока  начала работ. Для работ, имеющих цифру «ноль» в первой графе, в гр. 4 также заносятся нули, а их значение в гр. 5 получается в результате суммирования гр. 3 и 4.  В нашем случае таких работ только одна — (1, 2), поэтому в гр. 4 в соответствующей ей строке проставим 0, а в гр. 5 — 0+6 = 6.

Для заполнения следующих строк гр.4, т. е. строк, начинающихся с номера 2, просматриваются заполненные строки гр.  5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в гр. 4 обрабатываемых строк. В данном  случае такая работа лишь одна (1, 2), о чем  можно судить по гр. 1. Цифру 6 из гр. 5 переносим в гр.4 для всех работ, начинающихся с номера 2, т. е. в три последующие строки с номерами (2, 3), (2, 4), (2, 5). Далее для каждой   из этих работ путем   суммирования их значений гр. 3 и 4 сформируем значение гр.5.:

 

tpo(2.3) = 5 + 6 =11

tpo(2.4) = 3 + 6 = 9

 

Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.

Графы 7 и 6 заполняются «обратным ходом», т. е. снизу вверх. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из гр. 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в гр. 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (см. формулу tn(N) = tp(N)). В нашем случае t(N) = 33. Затем для этих строчек находится содержимое гр. 6 как разность между гр. 7 и 3 Имеем:

tpo(10.11) = 33 - 9 = 24.

Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер события, которое непосредственно предшествует завершающему событию (10). Для определения гр. 7 этих строк (работы (5,10), (7,10), (8,10), (9,10)) просматриваются все строчки гр. 6, лежащие ниже и начинающиеся с номера 10.

В гр. 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в гр. 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна — (10,11), поэтому заносим  во все строки указанных работ цифру «24». Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строки по гр. 6 и 7.

Содержимое гр. 8 равно разности гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5 . Гр. 9 проще получить, воспользовавшись формулой.

Учитывая, что нулевой резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем, что критическим является путь

LKp = (1,2,4,5,10,11), а tкр = 33 дня.

Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух способов по приводимой ниже формуле:

KH=(i,j)=t(Lmax)-tkp  /tkp - tkp`= 1- Rn - Rn (i,j)/ tkp - tkp`

где t(L max) — продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j); tkp`— продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

Коэффициент напряженности изменяется от нуля до единицы, причем, чем он ближе к единице, тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. На основе этого коэффициента все работы СМ могут быть разделены на три группы:

•   напряженные (KH(i,j) > 0,8);

•   под критические (0,6 < KH(i,j) < 0,8); 

•   резервные ( KH (i,j) < 0,6).

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.

При расчете этих показателей целесообразно пользоваться графиком СМ. Итак, для работ критического пути (1,2), (2,4), (4,5),(5,10),(10,11) Kн=1. Для других работ:

Kн(2,3) = 1 - (6: (33 - (6 + 9)) = 1- 0,33 = 0,67

Kн (4,9) - 1 - (5: (33 - (6 + 3 + 9)) = 1 - 0,33 = 0,67

Kн (5,8) = 1 - (2: (33 - (6 + 3 + 6 + 9)) = 1 - 0,22 = 0,78 и т.д.

В соответствии с результатами вычислений Кн для остальных работ, которые представлены в последней графе табл.1, можно утверждать, что оптимизация СМ возможна в основном за счет двух резервных работ: (6,11) и (2,5).

 

2.2 Сетевое планирование в условиях неопределенности

 

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки — минимальная и максимальная.

Минимальная (оптимистическая) оценка tmin(i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) tmin(i,j) — при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение tox оценивается по формуле (при бета-распределении плотности вероятности):

tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5.

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии S2:

S2 (i,j) = (t max (i,j) – t min (i,j) 2 :5 2  =

= 0.04 ( t max (i,j) – t min (i,j)2

На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики СМ, однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом — лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных характеристик СМ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

1) определить вероятность  того, что продолжительность критического пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;

2) определить максимальный  срок выполнения всего комплекса  работ Т при заданном уровне вероятности р.

Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа Ф(г) использованием формулы:

P (t kp < T) = 0,5 + 0,5 Ф(z),

Где нормированное отклонение случайной величины: z = (Т - tKp)/S Kp;

SKp — среднее квадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.

Соответствие между z и симметричным   интегралом   вероятностей  представим в таблице 2. Более точно соответствие между этими величинами (когда z вычисляется более чем  с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной статистической литературе.

При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременность выполнения всего комплекса работ.

Для решения второй задачи используется формула:

Т = t ож (Lkp )+ z *S kp

Таблица 2 – Фрагмент таблицы стандартного нормального распределения

z	Фz	z	Фz
0,1	0,0797	1,5	0,8664
0,2	0,1585	1,6	0,8904
0,3	0,2358	1,7	0,9104
0,4	0,3108	1,8	0,9281
0,5	0,3829	1,9	0,9545
0,6	0,4515	2,0	0,9643
0,7	0,5161	2,1	0,9722
0,8	0,5763	2,2	0,9786
0,9	0,6319	2,3	0,9836
1,0	0,6827	2,4	0,9876
1,1	0,7287	2,5	0,9907
1,2	0,7699	2,6	0,9931
1,3	0,8064	2,7	0,9949
1,4	0,8385	2,8	0,9963

 

Кроме описанного способа расчета сетей с детерминированной структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на вычислительной технике многократно моделируется продолжительность выполнения работ и рассчитывается на основе этого основные характеристики сетевой модели. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерность моделируемой сети.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Построение сетевой модели

При построении сетевых моделей следует придерживаться следующих правил:

1. Строится трафарет событий.

2. Наносятся на трафарет в соответствии со структурно-временной последовательностью все работы.

3. Просматриваются возможные варианты следования событий и работ.
4. Всем стрелкам сетевого графика задают общее направление слева направо.
5. Не должно быть стрелок, которые ниоткуда не выходят и никуда не входят.
6. Между одной парой событий можно изобразить только одну работу.
7. При необходимости изображения двух параллельно выполненных работ между двумя событиями вводят дополнительное промежуточное событие и фиктивную работу с нулевой продолжительностью.
8. Из сети исключают тупиковые события, от которых не начинается ни одна работа, за исключением завершающего события комплекса.
9. Проводят преобразования геометрии взаимного расположения работ и событий к виду, удобному для восприятия в целом, устраняют пересечения работ.
10. Нумерацию событий проводят последовательно слева направо и сверху вниз.

Структуру сетевой модели и оценки продолжительности работ (в сутках) представим в таблице 3.

Требуется:

а) получить все характеристики СМ;

б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за 30 дней;

в) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% (т.е. р = 0,95).

Таблица 3 – Сетевая модель и оценка продолжительности работ.

Работа	Продолжительность		Ожидаемая	Дисперсия
(i,j)	tmin(i,j)	t max(i,j)	Продолжительность tож(i,j)	S2 (i,j)
(1.2)	5	7.5	5	0.25
(2.3)	4	6.5	5	0.25
(2.4)	3	6	3	1.00
(2.5)	1	5.5	4	0.25
(3.7)	0.5	3.5	1	0.36
(4.5)	5	7.5	6	0.25
(4.6)	3	5.5	4	0.25
(4.9)	5	10	7	1.00
(5.8)	2	4.5	3	0.25
(5.10)	7	12	9	1.00
(6.9)	0	0	0	0.00
(6.11)	3	8	5	1.00
(7.10)	4	9	6	1.00
(8.10)	2	7	4	1.00
(9.10)	1	6	3	1.00
(10.11)	8	10.5	9	0.25

Три первые графы таблицы 3 содержат исходные данные, а две последние графы — результаты расчетов по формулам Так, например,

tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5

tож(1,2)=(3*5 +2*7,5):5 =6

tож(2,3)=(3*4 +2*6,5):5 =5

S2 (i,j) = (t max (i,j) – t min (i,j) 2 :5 2  = 0.04 ( t max (i,j) – t min (i,j)2

S2 (1,2) = (7,5 - 5) 2 :25  =0,25

S2 (2,3) = (6,5 - 4) 2 :25  =0,25

 

Получим сетевую модель аналогичную рассматриваемой во второй главе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2- Полученная сетевая модель

Таким образом, ход расчета характеристик модели остается аналогичен рассмотренному ранее. Как уже было отмечено, критическим является путь: Lкр = (1,2,4,5,10,11), а его продолжительность равна tкр= tож= 33 дня.

Дисперсия критического пути составляет:

S2Kp = S2(l,2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10,M) =

= 0,25 + 1,00 + 0,25 + 1,00 + 0,25 = 2,75. 

Для использования формулы показателя дисперсии необходимо иметь среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т. е.  SKp = 1,66. Тогда имеем: 

Р(tкр <35) = 0,5 + 0,5 Ф{(35 - 33)1,66} =

= 0.5 + 0.5 Ф(1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885

Р(tкр <30) = 0,5 + 0,5 Ф{(30 - 33)/1,66} =  0,5 - 0,5Ф(1,8) =

= 0,5 - 0,5 • 0,95 = 0,035.

Таким образом, вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет 88,5%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней — всего 3,5% .

Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл.2 найдем значение аргумента z, которое соответствует заданной вероятности 95% . В графе Ф(z) наиболее близкое значение (0,9545 • 100%) к ней соответствует г = 1,9. В этой связи в формуле (3.61) будем использовать именно это (не совсем точное) значение. Тогда получим:

Т = tож(Lкр) + z-SKp = 33 + 1,9*1,66 = 36,2 дн.

Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности р = 95% составляет 36,2 дня. 

Составим словесно-формульное описание алгоритма

1. Начало процесса
2. Ввод данных ((i,j), tmin(i,j), t max(i,j), tож(i,j), S2 (i,j);
3. Организация цикла
4. Вычисление для каждого значения работы:

tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5

S2 (i,j) = (t max (i,j) – t min (i,j) 2 :5 2  =

= 0.04 ( t max (i,j) – t min (i,j)2

5. Завершение цикла
6. Вычисление дисперсии критического пути

S2Kp = S2(l,2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10,M)

7. Вычисление вероятности выполнения работ за 35 и 30 дней