Задачи по "Экономико-математическому моделированию"

Таблица 6 (k=1, α=0,7)

t	(Yt)	A0	A1	Yp(t)	e(t)	e(t)^2	(et-e(t-1))^2	|e|/Yt*100%
0		30,70	3,10
1	34	33,90	3,20	33,80	0,20	0,04		0,59
2	36	36,56	2,66	37,10	-1,10	1,20	1,348	3,04
3	41	40,09	3,53	39,22	1,78	3,17	3,871	4,34
4	43	43,32	3,23	43,63	-0,63	0,39	7,715	1,45
5	46	46,28	2,96	46,55	-0,55	0,30	0,009	1,19
6	48	48,63	2,35	49,24	-1,24	1,53	1,523	2,58
7	51	50,99	2,36	50,98	0,02	0,00	2,346	0,03
8	53	53,18	2,19	53,35	-0,35	0,12	0,015	0,67
9	54	54,70	1,52	55,37	-1,37	1,87	3,050	2,53
10	57	56,60	1,90	56,22	0,78	0,62	1,575	1,38
11				58,50				1,78
12				56,60
Итого(1:10)						9,24	21,45	17,80

 

Лучшее значение α=0,7, меньше средняя по модулю ошибка, 1,78 против 2,25%.

5.5. Оценка адекватности  модели 

а) на основе исследования случайности остаточной компоненты по критерию пиков (поворотных точек)

e(t) считается поворотной точкой, если е_t-1<e_t>e_t+1  и если е_t-1>e_t<e_t+1, и обозначается через р.  ;

Критерием случайности  с 5% уровнем значимости  является выполнение неравенства

p > [ ], где [ ] означает целую часть числа.

= 5,33 ;    = 1,46;    [ ]=[2.97]=2.

Модель Брауна:

e(t)	0,20	-0,96	1,21	-0,15	-0,28	-1,33	-1,01	-1,58	-2,80	-1,38
р		1	1			1	1		1

5>2 - c доверительной вероятностью 95% по данному критерию можно признать модель адекватной.

Линейная модель:

e=(Yt-Y)	-0,87	-1,41	1,05	0,51	0,97	0,43	0,89	0,35	-1,19	-0,73
р		1	1	1	1	1	1		1

7>2 - c доверительной вероятностью 95% по данному критерию можно признать модель адекватной.

б) на основе исследования независимости уровней ряда остатков по d-критерию (Дарбина-Уотсона) 

подчиняется распределению  Дарбина-Уотсона, для которого имеются таблицы квантилей. Сравнивая значения d_расч и d_табл можно проверить гипотезу о нарушении условия.

1. d_расч ≤ d_{1 –} гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;
2. d₂ ≤ d_расч ≤ 4-d₂ – гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;
3. d_расч  ≥ 4-d₁ – принимается гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

Случаи, когда d₁ ≤ d_расч ≤ d₂ и 4-d₂ ≤ d_расч ≤ 4-d₁, являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается.

Модель Брауна: d_расч =13,03/17,57=0,74. 0,74<=1,08. Модель не адекватна по данному критерию. Нельзя принять или отклонить гипотезу.

Линейная модель: d_расч =10,22/8,10=1,26 <= 1,36. Модель не адекватна  по данному критерию. Нельзя принять или отклонить гипотезу.

в) на основе исследования нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию          R=e_max - e_min,   S=S_y= .

Если R/S попадает в интервал между критическими границами, то с заданной вероятностью гипотеза о нормальности распределения принимается.

Модель Брауна: e_max=1,21; e_min=-2,8;   R=e_max-e_min=4,01;   S=S_y=1,40; R/S=2,87. Критические уровни равны 2,7 и 3,7; R/S  попадает в заданный интервал, с заданной вероятностью гипотеза о нормальности распределения принимается.

Средняя относительная  по модулю ошибка =2,25;   среднее квадратическое отклонение =1,40.

Линейная модель:  e_max=1,05; e_min=-1,41;   R=e_max-e_min=2,46;   S=Sy=0,95; R/S=2,59. Критические уровни равны 2,7 и 3,7; R/S  не попадает в заданный интервал, с заданной вероятностью гипотеза о нормальности распределения не принимается.

Средняя относительная ошибка =1,91;   среднее квадратическое отклон =0,95.

5.6. Точечный прогноз  получается при подстановке в  модель ожидаемой величины фактора.

Доверительный интервал прогноза:

 

Y_{прогнозный}                

Модель Брауна: доверительный  интервал прогноза зависит от стандартной  ошибки оценки, t для вероятности 80% и n=10 =1,40.  Стандартная ошибка оценки Sе=17,57/8=2,20.

U1=	6,29		Y11=	59,97	±	6,29		или Y11  изменяется от	53,68	до	66,26
U2=	6,59		Y12=	61,77	±	6,59		или Y12  изменяется от	55,18	до	68,37

 

 

Рис.2. График по модели Брауна с точечным и интервальным прогнозами

 

Линейная модель:

Y11=a0+11*a1=69,87        Y12=a0+12*a1=72,64

стандартная ошибка оценки =8,1/(10-2)=1,01;  t для р=80% и n=10 =1,40

U1=	1,75		Y11=	60,27	±	1,75		или Y11  изменяется от	58,51	до	62,02
U2=	1,80		Y12=	62,81	±	1,80		или Y12  изменяется от	61,01	до	64,60

 

Рис.3. График по линейной модели с точечным и интервальным прогнозами

ЛИТЕРАТУРА

 

 

1. Экономико-математические методы и прикладные  модели: Учебное пособие для вузов/ В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В.Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.