Сфероидная геодезия

Сфероидная геодезия

1. Определить  параметры земного эллипсоида  прямоугольных координат точек

Исходные  данные:

a=6 378 137 м

α= 1:298,25 = 0,003352891

Определить:

 

 

 

 

 

м

Контроль:

 

 

2. Определить  значения 1 и 2 функций широты

Исходные  данные:

B=6⁰06^’

=

=

a=6 378 137 м

 

Определить:

 

 

 

 

Контроль:

 

 

 

 

3. Определить  значения радиусов кривизны меридиана  и нормального сечения

Исходные  данные:

B=6⁰06^’

=

=

a=6 378 137 м

 

 

Определить:

 

 

 

 

 

 

 

 

Контроль:

 

 

 

 

4. Определить  значение декартовых прямоугольных   координат по геодезическим координатам  точки

Исходные  данные:

α= 46⁰06^’   Переводим градусы в радианы  α= 0,8041596785

B=6⁰06^’       B=0,106465084

 

=

a=6 378 137 м

 

 

Определить:

 

 

 

 

 

 

 

 

Контроль:

 

 

 

 

 

 

 

 Вычисление длин дуг меридианов и параллелей

 

Длина дуги меридиана  между точками с широтами определяется из решения эллиптического интеграла вида

   (1)

 

который, как известно, не берется в элементарных функциях. Для решения интеграла используют два способа:

а) Раскладывают подынтегральное выражение в  степенной ряд и, ограничиваясь  некоторым числом членов ряда, выполняют  затем почленное интегрирование, которое, таким образом, сводится к интегрированию в элементарных функциях.

б) Применяют численное  интегрирование методами, известными в вычислительной математике.

Второй способ в настоящее время является более  точным и удобным. В соответствии с этим способом численное интегрирование можно выполнить, например, по формуле  Симпсона:

 

    (2)

 

где                       (3)

 

где – широты концов дуги меридиана; , и – значения радиусов кривизны меридиана в точках с широтами , и

 

       

 

Для контроля вычислений длину дуги меридиана  следует вычислить как сумму дуг и меридиана от точки с широтой до точек с широтами на основании (2) будет иметь

 

             (4)

 

 

где    и - значения радиусов кривизны меридиана в точках с широтами

 

  и  

 

 

 

Примечание. При  рассмотрениях между точками  до 500 км формула (2) обеспечивает точность вычислений 1-2 см. Если, дуга меридиана  превышает 500 км, то для вычисления длины  дуги рекомендуется разделить ее на части, не превышающие 500 км, и применить  формулу (2) к каждой части в отдельности.

 

Задание 1. Вычислить длину дуги меридиана между двумя точками с широтами ^{и ,} пользуясь формулой (2). Полученный результат проверить по формуле (4).

 

Исходные данные:

a=6 378 137 м

α= 1:298,3 = 0,0033523299

  ^{Переводим градусы в радианы}    

  

=

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

Схема решения        Таблица 1

Формулы	Результаты вычислений	Формулы	Результаты вычислений
	6 378 137
	0,793805669
	0,106696705

 

Контрольные вычисления 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

Формулы	Результаты вычислений	Формулы	Результаты вычислений
	6 378 137
	0,793805669
	0,106696705

 

 

Длина дуги параллели  есть длина части окружности, поэтому она получается непосредственно как произведение радиуса данной параллели на разность долгот крайних точек искомой дуги, т. е.

 

                                  (5)

где

Значение радиуса  кривизны первого вертикала  вычисляется по формуле

 

                (6)

 

Для контроля вычислений длину дуги параллели следует  определить как разность длин дуг  отсчитываемых от меридиана с долготой    (рис. 1)

Значения величин  получим, пользуясь формулой (5):

 

               

 

Искомую дугу параллели  получим по формуле:

 

Примечание. Точность формулы (5) зависит от разности долгот . Если , то, пользуясь восьмизначными таблицами тригонометрических функций, длину дуги параллели ( в средних широтах) можно получить с ошибкой ±0,001м.. При   для обеспечения указанной точности при вычислении нужны таблицы с большим числом знаков. Однако в геодезической практике необходимость в такой точности появляется очень редко.

 

Задание 2. Вычислить длину дуги параллели между точками, лежащими на этой параллели, если даны разность долгот этих точек и широта параллели ^{. Решение проверить по контрольной формуле.}

 

Исходные  данные:

a=6 378 137 м

 

=

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема решения        Таблица 3

Формулы	Результаты вычислений	Формулы	Результаты вычислений

 

 

Контрольные вычисления 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    

 

Таблица 4

Формулы	Результаты вычислений	Формулы	Результаты вычислений