Имитационное моделирование

1. Построить  график или таблицу интегральной  функции распределения на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у).

2.С помощью генератора случайных чисел выбрать случайное десятичное число в пределах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов).

3. Провести  горизонтальную прямую от точки  на оси ординат соответствующей  выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей.

4.Опустить  из этой точки пересечения  перпендикуляр на ось абсцисс.

5.Записать  полученное значение х. Далее  оно принимается как выборочное  значение.

б.Повторить  шаги 2-5 для всех требуемых случайных  переменных, следуя тому порядку, в котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью простого примера: количество звонков на телефонную станцию в течение 1 минуты соответствует следующему распределению:

Кол - во звонков    Вероятность   Кумулятивная вероятность 
О 0,10                         0,10

1 0,40                          0,50

2 0,30                         0,80

3 0,15                          0,95

4 0,05                          1,00

Предположим, что мы хотим провести мысленный  эксперимент для пяти периодов времени.

Построим график распределения кумулятивной вероятности. С помощью генератора случайных чисел получим пять чисел, каждое из которых используем для определения количества звонков в данном интервале времени.

Период времени    Случайное число   Количество звонков

 

1 0,09                              О

 

2 0,54                              2

 

3 0,42                              1

 

4 0,86                             3

5 0,23                             1

 

Взяв еще  несколько таких выборок, можно  убедиться в том, что если используемые числа действительно распределены равномерно, то каждое из значений исследуемой величины будет появляться с такой же частотой, как ирреальном мире», и мы получим результаты, типичные для поведения исследуемой системы.

Вернемся к примеру. Для расчета нам нужно было выбирать случайные

точки в единичном  квадрате. Как это сделать физически?

Представим такой эксперимент. Рис.1. (в увеличенном масштабе) с  фигурой

S и квадратом повешен на стену в качестве мишени. Стрелок, находившийся

на некотором расстоянии от стены, стреляет N раз, целясь в центр квадрата.

Конечно, все пули не будут  ложиться точно в центр: они пробьют  на мишени N случайных точек. Можно ли по этим точкам оценить площадь S.

     Результат  такого опыта показан на рис. 2.(см. Приложение 2)

 

 Ясно, что при высокой  квалификации стрелка результат  опыта будет очень плохим, так  как почти все пули будут  ложиться вблизи центра и попадут  в S.

Нетрудно понять, что  наш метод вычисления площади  будет справедлив только тогда, когда  случайные точки будут не просто «случайными», а еще и «равномерно разбросанными» по всему квадрату.

 

В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется  в 

трех основных ролях:

1. при моделировании сложных, комплексных операций, где

присутствует много  взаимодействующих случайных факторов;

2. при проверке применимости более простых, аналитических

      методов  и выяснении условий их применимости;

3. в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа

«эмпирических формул»  в технике. 

 

 

  Пример. Оценка геологических запасов.

Для оценки величины извлекаемых запасов необходимо, прежде всего, определить величину суммарных или геологических запасов.

        Анализ структурных ловушек.

 

Для оценки содержания в структурной ловушке нефти  и/или газа, поисковые и промысловые геологи и геофизики должны изучить характер структурной ловушки. Такое исследование необходимо для определения возможной величины геологических запасов. Область изменения запасов определяется комбинацией следующих оценочных показателей: объем осадочных пород (RV), пористости (F), перовой водонасыщенности (S_w), эффективная мощность (NP) g.

  Определение вероятных значений  параметра.

На этом этапе  геологи должны оценить значение вероятностей для параметров, используемых при подсчете геологических запасов. Каждому параметру приписываются интервальные значения вероятностей, исходя из экспертных оценок геологов..

Анализ  графиков вероятности.

 

Графики, показанные на рис. 1,2,3,4,5 являются графиками накопленной  вероятности. Непрерывная кривая представляет вероятность того, что величина рассматриваемого параметра будет «равна или больше» чем величина в той точке горизонтальной оси, которая пересекается вертикальной линией, проектируемой от кривой, с перпендикуляром к вертикальной оси для любых значений от 0 до 100 %. Кривая построена по данным гистограмм, которые показаны как заштрихованные столбики. Гистограммы представляют собой экспертную оценку поисковых и промысловых геологов и геофизиков, которые обеспечивают информацию в следующей форме:

- по нашему  мнению , вероятность того, что объем пород залежи находиться в интервале от 0 до 390 тыс. футов составляет 10%;

- по нашей  оценке вероятность того, что  объем пород равен от 380 до 550 куб.  футов , составляет 15% и так далее.

Эти оценки геологов накапливаются, и в итоге получается обобщенная кривая вероятности . На основании этой кривой можно экстраполировать значения ожидаемых вероятностей для изучаемых параметров.

 

Подсчет геологических запасов.

 

Объем геологических  запасов вычисляется с помощью  следующей формулы:

RVxFx(l-S_w)x NPx —, где F_v - коэффициент приведения нефти к поверхностным условиям.

 

Использование средних величин для получения  приблизительной оценки геологических запасов.

 

При оценке приблизительного количества нефти в месторождении  будем использовать следующие значения параметров:

- среднее  значение объема пород составляет 1,35 млн. акрофутов (1 акрофут = 7760 баррелей или около 1230 м³)

- средняя  пористость - 17%

- средняя  водонасыщенность - 20%

- средняя  эффективная мощность - 75%

- коэффициент приведения - 1,02 (в пластовых условиях нет свободного газа). Теперь подставим эти значения в формулу

(1,35 х 1 0) х  (1 7%) х (1 - 20%) х (75%) х ( ,т.е.:1350000x0,17x0,8x0,75x0,98) = 134946   акрофутов или 134946x7760 = 1047413760,

 т. е.  приблизительно 1,047 млрд. баррелей нефти (165 млн. м³, 141 млн.т).

Более распространенный способ: метод Монте-Карло.

Прежде всего, необходимо построить гистограммы  и кривые накопленной вероятности для каждого параметра.

Для каждой из этих кривых случайным образом необходимо выбрать точку, соответствующую вероятности от 0 до 100 %. После этого надо подставить значение параметра, соответствующее этой вероятности в уравнение. Затем можно подсчитать геологические запасы при этих значениях параметров и вычислить полную вероятность

Например , случайным  образом выберем из рис 1,2,3,4-

- для 50%-ой  накопленной вероятности имеем  25%-ю вероятность того, что объем  пород составит 690000 акрофутов

- для 20%-ой  накопленной вероятности имеем  35%-ю вероятность того, что пористость составит 21%

- для 25%-ой  накопленной вероятности имеем  25%-ю вероятность того, что водосодержание равно 33%

- 80%-я накопленная  вероятность показывает 32%-ю вероятность  того, что эффективная мощность составит 74%.

- коэффициент  приведения нефти к поверхностным условиям принимаем равным 1,02.

Используя эти  значения, вычислим геологические запасы:

(0,69 х 1 0) х  (2 1 %) х (l - 33%) х (74%) х ——   решив, получим приблизительно :

521 млн. баррелей  нефти (82 млн.м³, 70 млн.т ). Результат этого вычисления значительно меньше, чем при использовании средних значений параметров. Нам нужно узнать вероятность этого результата. Для определения вероятности того, что геологические запасы составят 521 млн. баррелей нефти, вычислим полную вероятность:

0,25 х 0,35 х  0,20 х 0,35 х 1,0 = 0,006125 ,т.е. вероятность равна 0.6125% - не очень хорошая!

Эта процедура  повторяется многократно, для чего мы использовали программу, составленную для ЭВМ. Это дает нам разумное вероятностное распределение геологических запасов. В результате выполнения программы прогнозировали объем геологических запасов нефти: наиболее вероятно, что объем нефти составит 84658 акрофутов или около 88,5 млн.тонн.

 

Использование распределения   накопленной вероятности.

 

На следующем  этапе , используя график, необходимо выбрать несколько оценок вместе с их вероятностями. Для каждого из этих значений вычисляются: динамика добычи, варианты проекта разработки. Эти расчеты могут затем использоваться для оценки капитальных эксплуатационных затрат для каждого значения запасов, выбранных из графика. Затем для каждого значения запасов анализируются экономические показатели. По прошествии некоторого времени, и после того, как будет пробурено некоторое количество скважин, рассчитывается коэффициент успешности по формуле.

Коэффициент успешности  = кол-во скважин давш. нефть\  кол-во пробур. скважин

За период в течение нескольких лет составляется график вероятности достижения успеха. Например, для условной площади, график коэффициента успешности составлен по прошествии девяти лет эксплуатации. Через соответствующие значения успешности проводятся условные линии, затем через их центры проводится огибающая кривая. Крайние точки этих линий соответствует максимальному уровню успешности, а центральная кривая соответствует наиболее вероятному уровню достижения успеха Значения вероятностей определяется на основе субъективных суждений промысловых геологов.

Аналогично  определяется уровень запасов на одну скважину. С помощью коэффициента успешности и средних запасов на одну скважину оценивается вероятность достижения определенного уровня запасов, необходимая для составления программы бурения и определения количества необходимых скважин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод.

 

Основным недостатком аналитических  моделей является то, что они неизбежно  требуют каких-то допущений, в частности, о «марковости» процесса. Приемлемость этих допущений далеко не всегда может быть оценена без контрольных расчетов, а производятся они методом Монте-Карло. Образно говоря, метод Монте-Карло в задачах исследования операций играет роль своеобразного ОТК. Статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В принципе, в статистическую модель «лезет» что угодно — любые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей — их громоздкость и трудоемкость. Огромное число реализации, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точностью, требует большого расхода машинного времени. Кроме того, результаты статистического моделирования гораздо труднее осмыслить, чем расчеты по аналитическим моделям, и соответственно труднее оптимизировать решение (его приходится «нащупывать» вслепую). Правильное сочетание аналитических и статистических методов в исследовании операций — дело искусства, чутья и опыта исследователя. Нередко аналитическими методами удается описать какие-то «подсистемы», выделяемые в большой системе, а затем из таких моделей, как из «кирпичиков», строить здание большой, сложной модели.                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

     Список используемой литературы:

 

 

1. Вентцель Е.С. «Исследование операций», Москва «Советское радио»

          1972 г.

 

2. Соболь И.М. «Метод Монте-Карло», Москва «Наука»,1985 г.

 

 

3. «Экономико-математические методы и прикладные модели»,

        под ред. Федосеева В.В. , Москва  «Юнити» 2001 г.