Динамическое виброгашение

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования  
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Факультет инноваций и  высоких технологий

Кафедра:_________ИС___________________

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему: «Динамическое виброгашение»

 

 

 

Выполнил: Удалов Никита Сергеевич

Проверил:  ______________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Москва

2013

АФЧХ — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука): Понятие гармонический осциллятор довольно обширное и встречается во многих областях физики: в классической механике, электричество, квантовая физика и т.д. В общем гармонический осциллятор характеризуется некоторым колебательным движением.

В этом реферате под гармоническим  осциллятором будет подразумеваться  возникающие гармонические осцилляции за счет вынуждающей силы генератора в электрической цепи. 

Как видно из определения, для того, чтобы понять, что такое АФЧХ и как пользоваться этим инструментом, необходимо понять, что такое частотные и амплитудные характеристики.

Пусть в качестве рассматриваемой  модели будет выступать следующая  задача: есть четырехполюсник, на вход подается какой-либо сигнал, требуется ответить на вопрос, что будет на выходе?

На данный момент существует несколько способов решения данной задачи. Как для механической системы, так для электрических цепей существует возможность написания систем дифференциальных уравнений, решив которые можно получить точное решение. Для нас даже не столько важно точное решение, сколько ответ на вопрос, что качественно изменяется при подаче различных сигналов на вход четырехполюсника.

Используя теоремы математического  анализа, можно показать, что любой непрерывный периодический сигнал (более ослабленное условие, ввиду того, что обычно в реальном мире сигналы являются непрерывными) можно представить как суперпозицию гармонических сигналов, т.е. косинусов и синусов с различными амплитудами и частотами. Такое преобразование называется разложение в ряд Фурье. Таким образом, задача сводится к более простой. Нам достаточно исследовать, как система (четырехполюсник) ведет себя, при подаче на ее входы гармонических сигналов. Чуть позже мы покажем, что зная отклик системы на каждый отдельный гармонический сигнал в отдельности, можно узнать отклик системы в целом на входной непрерывный сигнал.

Как мы знаем, гармонический  сигнал в любой момент времени  можно описать двумя параметрами  – это фазой и амплитудой. При этом выходной сигнал может отличаться от входного сигнала, но он так же должен описываться теми же двумя параметрами. Таким образом, на этом этапе можно ввести две характеристики, а именно:

• Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты поданного сигнала. Это определение верно в случае, когда амплитуда входного сигнала равнялась единице (в усл. единицах). В общем случае это зависимость отношения амплитуды выходного сигнала ко входному от частоты поданного сигнала. Простыми словами данная характеристика показывает, как количественно меняется амплитуда выходного сигнала по отношению к входному сигналу.
• Фазочастотная характеристика (ФЧХ) - зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты входного сигнала. Простыми словами на примере гармонического сигнала, показывает, на сколько выходной сигнал запаздывает или начинает опережать по фазе входной сигнал.

Таким образом, зная две эти  характеристики, можно выяснить какой  будет выходной сигнал, при условии, что мы знаем входной сигнал.

Теперь хотелось бы рассмотреть  небольшой пример расчета и построения графиков АЧХ и ФЧХ для колебательного контура с затуханием. Применяя АЧХ и ФЧХ можно решить следующую задачу:

Входной сигнал: , где частота входного сигнала.

Тогда выходной сигнал будет: , где АЧХ, ФЧХ

и можно увидеть на Рис.1.

Рис.1

Для того, чтобы построить АФЧХ, сначала необходимо найти коэффициент передачи:

 

Коэффициент является комплексным  в общем случае, и дает довольно большое количество информации для  анализа схемы. Чтобы найти коэффициент  передачи, найдем значение тока, протекающего в цепи. Перейдем от значений сопротивлений, емкостей и индуктивности к понятию импеданса.

Импедансом   называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени: если время t в выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

Таким образом,  значение импеданса для разных элементов рассматриваемой цепи будут следующие:

 

Значение напряжения для  последовательного колебательного контура содержит как комплексные  составляющие, так и действительные.

Запишем значение входного напряжения:

 

 

 

Отсюда находим значение протекающего тока:

 

Теперь можно записать значение выходного напряжения:

 

Отсюда находим коэффициент  передачи:

 

 

После небольших преобразований находим значение АЧХ:

 

Для данной схемы получаем следующую АЧХ:

Рис. АЧХ исследуемой схемы

 

 

Рис. ФЧХ исследуемой схемы

Из данных характеристик  можно определить резонансную частоту 

В итоге годограф можно  построить при помощи двух полученных характеристик, путем совмещения двух графиков. В таком случае частота  является параметром искомого годографа, значение АЧХ при определенном значении параметра есть длина вектора, а  ФЧХ есть угол относительно вещественной оси при определенном значении параметра  частоты. Второй способ это просто в зависимости от значения параметра частоты изобразить на комплексной плоскости коэффициент передачи:

 

Как результат, для нашей схемы  получаем следующий годограф:

Рис. Полученный годограф.

Теперь становится более  ясно, как используя АЧХ и ФЧХ, можно найти отклик на произвольный сигнал. Рассуждая фундаментально, для решения этой задачи, достаточно разложить входной сигнал в ряд  Фурье, согласно АЧХ и ФЧХ найти  отклики отдельных гармоник и просуммировать полученные результаты. Однако можно поступить еще проще, зная один только комплексный коэффициент передачи. Для этого нужно сделать преобразование Фурье, получив образ входного сигнала.

 

Теперь можно легко получить Фурье-образ выходного сигнала:

 

Выполнив обратное преобразование Фурье по формуле, приведенной ниже, получаем конечный сигнал.

 

Необходимо заметить, что  в рассмотренном примере, выходом  схемы являлось значение напряжение на резисторе. Снимая значения напряжения с катушки или конденсатора, АЧХ и ФЧХ получаются другие, ввиду различающихся импедансов.

Разобравшись с тем, что  такое АФЧХ, было бы неплохо понять, зачем это может пригодиться при анализе схем, как механических, так и электрических. АФЧХ имеет второе название – «годограф Найквиста». Пользуясь таким представлением амплитудных и частотных характеристик на одном графике, Найквист сформулировал и доказал критерий устойчивости систем с обратной связью.

Критерий Найквиста позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой системы.

Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные  блоки от входа системы до точки  замыкания обратной связи.

 

Соответственно имеется АФЧХ  разомкнутой системы W_рс(jw).              

Типичный вид АФЧХ разомкнутой САУ имеет вид: 

Типичный вид годографов АФЧХ разомкнутой системы.

 

           

Критерий  Найквиста   связывает устойчивость замкнутой системы с  поведением  годографа   АФЧХ разомкнутой системы. При изменении частоты от  0  до  ¥ годограф  АФЧХ  устойчивой  системы не  должен "охватывать" точку -1.

          Критерий Найквиста доказывается с помощью двукратного применения критерия Михайлова: один раз - к разомкнутой системе (устойчивой или неустойчивой), другой раз - к замкнутой системе (только устойчивой).

          Имеется две формы критерия Найквиста, соответствующие случаям, когда разомкнутая система устойчива, и когда разомкнутая система неустойчива.

Критерий  Найквиста (случай устойчивой разомкнутой  системы).

Если разомкнутая система  устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы “не охватывал” точку (-1;j0).

 

 

 

На рисунке приведена АФЧХ устойчивой разомкнутой системы, для которой  замкнутая система будет устойчивой. Обращает на себя внимание так называемая "клювообразная" АФЧХ. При такой АФЧХ замкнутая система является устойчивой, несмотря на кажущийся "охват" точки (-1;j0). Поэтому уточненим нечетко сформулированное понятие ”охват точки” (-1;j0) годографом Найквиста: абсолютно точное  правило переходов:

положительным считается  переход годографа левее (-1;j0)  снизу вверх,

отрицательным  считается  переход годографа левее (-1;j0)  сверху вниз.

                   (¯ - отрицательный, ­ - положительный).

• Неохват означает, что сумма переходов равна нулю.
• Охват означает, что  положительных    переходов больше, чем отрицательных.
• Если годограф начинается на отрицательной полуоси, то начальный переход  считается за 1/2 перехода.

Теперь ясно, почему система с "клювообразной" АФЧХ, приведенной на рисунке выше, соответствует устойчивой замкнутой  системе - сумма переходов  левее  критической точки равна 0.

Критерий  Найквиста (полная формулировка)

Пусть разомкнутая система  имеет m неустойчивых корней, тогда  для устойчивой замкнутой системы  необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста разомкнутой системы  охватил точку (-1; j0)  m/2 раз.

 

 

 

 

Замкнутая  система  с таким  АФЧХ разомкнутой системы  будет  устойчивой, если в разомкнутой системе  есть   один неустойчивый корень. В этом  случае  годограф охватывает точку (-1;j0)    m/2=0.5   раз.   Переход при w=0 считается за половину отрицательного перехода.