Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика»

Sa_i>Sb_j (гдеi=1, ...,m; j=1, ...,n);

2. Сумма поданных заявок  превышает наличные запасы 

Sa_i<Sb_j  (где i=1, ...., m; j=1, ...,n);

Условимся первый случай называть "Транспортной задачей  с избытком запасов", а второй — "Транспортной задачей с избытком заявок".

Рассмотрим последовательно эти два случая:

Транспортная задача с избытком запасов.

В пунктах А₁ A₂, ..., A_m имеются запасы груза a₁, а₂, ..., а_m, пункты B₁, В₂, ..., В_n подали заявки b₁, b₂, ..., b_n, причём

S a_i> S b_j, (где i=1, m ; j=1, n).

Требуется найти такой план перевозок (X), при котором все заявки будут выполнены, а общая стоимость перевозок минимальна. Очевидно при этой постановке задачи некоторые условия-равенства транспортной задачи превращаются в условия-неравенства, а некоторые — остаются равенствами.

X_i,j £ a_i (i=1 …, m ).

X_i,j = b_i (j=1 …, n ).

Mы умеем решать  задачу линейного программирования, в какой бы форме — равенств  или неравенств ни были бы  заданы её условия. Поставленная  задача может бытъ решена, например, обычным симплекс-методом. Однако, задачу можно решить проще, если искусственным приемом свести её к ранее рассмотренной транспортной задаче с правильным балансом. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения B₁, В₂, ..., В_n,  введём ещё один, фиктивный, пункт назначения В_n+1 которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками

B_n+1 = S а_i, - S b_j, (где i=1, …, m ; j=l, ..., n),

а стоимость перевозок  из всех пунктов отправления в  фиктивный пункт назначения b_n+1 будем считать равным нулю. Введением фиктивного пункта назначения В_n+1 с его заявкой b_n+1 мы сравняли баланс транспортной задачи и теперь его можно решать как обычную транспортную задачу с правильным балансом.

Транспортная задача с избытком заявок.

Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с  правильным балансом, если ввести фиктивный  пункт отправления A_m+1 с запасов a_m+1 равным недостающему запасу и стоимость перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения принять равным нулю.

Составление опорного плана.

Решение транспортной задача начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные  способы. Например, способ "северо-западного угла", способ минимальной стоимости по строке, способ минимальной стоимости по столбцу и способ минимальной стоимости таблицы.

Способ "северо-западного угла". Будем заполнять таблицу перевозками постепенно начиная с левой верхней ячейки ( “ceвеpo-западного” угла таблицы ). Будем рассуждать при этом следующим образом. пункт B₁ подал заявку на 18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 48, имеющегося в пункте A₁ , и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). После этого заявка пункта B₁ удовлетворена, а в пункте A₁ осталось ещё 30 единиц груза. Удовлетворим за счёт них заявку пункта В₂, (27 единиц), запишем 27 в клетке (1,2);

оставшиеся 3 единицы  пункта а₁ назначим пункту В₃. В составе заявки пункта В₃  остались неудовлетворенными 39 единиц. Из них 30 покроем за счет пункта А₂, чем его запас будет исчерпан, и еще 9 возьмём из пункта Аз. Из оставшихся 18 единиц пункта Аз 12 выделим пункту В₄; оставшиеся 6 единиц назначим пункту В₅, что вместе со всеми 20 единицами пункта А₄ покроет его заявку. За этом распределение запасов закончено; каждый пункт назначения получил груз согласно своей заявки. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце — заявке. Таким образом, нами сразу же составлен клан перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является опорным решением транспортной задачи:

Составленный нами план перевозок, не является оптимальным  по стоимости, так как при его  построении мы совсем не учитывали  стоимость перевозок С_i,j.

Другой способ — способ минимальной стоимости по строке — основан на том, что мы распределяем продукцию от пункта А_i, не в любой из пунктов В_j, а в тот, к которому стоимость перевозки минимальна. Если в этом пункте заявка полностью удовлетворена, то мы убираем его из расчетов м находим минимальную стоимость перевозки из оставшихся пунктов В_j. Во всем остальном этот метод схож с методом "северо-западного угла". Способ минимальной стоимости по столбцу аналогичен предыдущему способу. Их отличие состоит в том, что во втором способе мы распределяем продукцию от пунктов B_i к пунктам А_j, по минимальной стоимости C_j.i. Опорный план, составленный способами минимальных стоимостей, обычно боже близок к оптимальному решению. Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными. Их число должно равняться m + n - 1. Необходимо отметить также, что встречаются такие ситуации, когда количество базисных   клеток меньше чем m + n - 1. В этом случае распределительная задача называется вырожденной. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю.

Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличии от плана по способу "северо-западного угла" мы учитываем стоимости перевозок С_i.j, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным.

3. Подсистемы и надсистемы

Нас окружают творческие задачи. Что это такое?

Творческая  задача - это такая задача, которая, в отличие от математической, имеет  много правильных решений. Например, надо сконструировать корабль для  посадки на Луну, или совсем обычная  задача: у Вас есть 100 рублей и  Вам надо купить продукты. Можно купить еду вегетарианскую, можно купить копчености, можно купить сладости, можно купить полуфабрикаты. Это тоже творческая задача, решений много, но для Ваших конкретных условий и требований будет правильным ограниченное количество решений. Иное дело задача: Маша выше Саши, но ниже Даши. Кто из троих самый маленький? Здесь только один правильный ответ, тут нет творчества, потому, что есть жесткий алгоритм решения и один правильный ответ. Логические или математические задачи могут быть очень сложными, но они, обычно, имеют один правильный ответ.

Творцу  приходится иметь  дело с самыми разными объектами  в самых разных областях человеческой деятельности. Хорошо бы выявить какие-то общие свойства у разных объектов, чтобы сформулировать хоть какие-то общие правила обращения с ними. Это сильно облегчит работу с объектами.

Оказалось, что еще  в Древней Греции  такие свойства были выявлены и определены.

Все окружающие нас макро  и микрообъекты (макро – большой,  микро – маленький) состоят из взаимосвязанных частей. Слова «состоит из взаимосвязанных частей» в переводе на древнегреческий язык звучит  СИСТЕМА.  Так мы часто и будем называть наши объекты. Системами является все, что нас окружает: от субатомных частиц, до Галактик и Вселенной, т.к. все мы можем разделить на части, хотя бы условно. Например: - ручка состоит из пишущего стержня, корпуса и колпачка;  Солнечная система состоит из Солнца и планет; электрон состоит из вещественной части и электрического заряда;  заряд электрона состоит из половины заряда и еще одной половины заряда (здесь деление условно, т.к. физически мы не можем разделить заряд электрона на части).

Итак, первое свойство окружающего  мира – мир состоит из СИСТЕМ. Примеры: человек, травинка, река, дождь, луч света, картина, роман, транспортная система, школа.

 Раз любая система,  по определению, состоит из  частей,  то части ее тоже  являются системами более низкого  ранга (старшинства) и называются  ПОДСИСТЕМАМИ. Подсистемы тоже состоят  из частей, то есть систем еще  более низкого ранга называемых ПОДПОДСИСТЕМАМИ. Так можно опускаться по вертикали до наименьших известных науке частиц (кварков).  Подсистем, т.е. частей не может быть меньше двух.

Раз все в мире состоит  из систем, то и наша рассматриваемая  система является частью система более высокого ранга Называемой НАДСИСТЕМОЙ. Надсистемы еще более высокого ранга называются НАДНАДСИСТЕМАМИ и так далее до самой большой известной науке системы – Вселенной, которая включает весь известный мир.

Графически какая-то конкретная система, ее ближайшие подсистемы и ближайшая надсистема в данный момент изображены на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                               Рис. 1

Но это только в  данный момент. А ведь какое-то время назад наша система, ее подсистемы и надсистема были хоть немного, но другими.  Например, система (шариковая ручка) вчера была другой, т.к. содержала чуть больше пасты.  А с оконного стекла испарилось сколько-то атомов и на него село сколько-то пылинок.  Значит система, подсистемы и надсистемы имеют прошлое, связанное с настоящим. Раз имеют прошлое, значит, имеют и будущее. То есть, системы существуют и изменяются во времени – от прошлого к будущему. Изобразим это на рисунке. У нас получился рисунок, состоящий из 9 экранов

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

Этот рисунок впервые  использовал автор ТРИЗ – Генрих Саулович Альтшуллер и назвал его  – СИСТЕМНЫЙ  ОПЕРАТОР (СО). Нужно  учиться видеть окружающий мир, каждую систему с использованием  системного оператора. Это позволяет видеть мир гораздо шире, видеть его с разных сторон, с разных точек зрения.  Генрих Саулович называл СО  схемой талантливого мышления.

 Все системы (весь  мир, т.к. он состоит из систем) делятся на два вида: естественные и искусственные.

Естественные  системы - это те, которые созданы природой, т.е. являются проявлениями различных свойств материи и их комбинаций. Такова природа, что в ней самопроизвольно образуются самые различные естественные системы. Строго говоря, их никто не создавал, они образовались сами.

Искусственные системы – это те системы, которые создали и создают живые существа: животные и человек. Живые существа создают системы не произвольно, а с какой-то целью. Эти системы нежны им для того, чтобы что-то делать полезное для данного существа. Так животные делают гнезда, норы для защиты от погодных условий, для сохранения и выращивания потомства и т.д.; человек строит дома, самолеты, делает ручки, ножи и т.д.

Мы дальше будем заниматься только искусственными системами, создаваемыми человеком, т.к. именно это и является  творчеством.

 То  ДЕЙСТВИЕ,  которое  должна совершать система по  замыслу творца, называется  ФУНКЦИЯ.  Чтобы правильно сформулировать  функцию нужно записать ее  в такой форме:  глагол неопределенной формы плюс существительное, на которое направлено действие глагола. Существительное называется объект функции.  Если при формулировке функции Вы отступите от этого правила – то сильно осложните себе работу и, скорее всего, сформулируете функцию неверно.

Потренируйтесь в формулировании функций простейших технических  систем: Шариковая ручка,  ботинок,  рюкзак,  стул,  автомобиль.

Пример: Объект - стол.  Функция – удерживать предметы (бытовые, малого и среднего веса). Ошибкой  будет: писать на столе – пишете вы, а не стол,  обедать – по той же причине и т.д.

Объект – велосипед.  Функция – перемещать  груз (человек  тоже груз) (по твердой поверхности  на двух колесах с помощью силы человека).

Объект – рассказ. Функция – Передать читателю то, что хочет автор, (а не то, что было).

Все, что здесь написано в скобках, является уточнением назначения технической системы.

Функцию, часто сформулировать трудно и надо тренироваться.

ТЕХНИЧЕСКИМИ  СИСТЕМАМИ  (ТС) в дальнейшем будем называть системы созданные  с помощью технических устройств или сами являющиеся техническими устройствами, хотя, строго говоря, нет других систем без участия ТС. Художественные системы невозможны без печатных машин, финансовые системы невозможны без техники Монетных дворов, образовательные системы – без строительства школ и печати учебников и т.д.

Кроме ТС имеются Художественные системы (ХС), Финансовые системы, Управленческие системы, Образовательные системы, Экологические системы и т.д.

Итак, функция – действие. Но может быть и противоположное действие. Например: взлетать – падать,  бросать – ловить, перемещаться вперед – назад и т.д. Такое противоположное действие называется антифункцией  (анти – против).    

Система, имеющая антифункцию  – называется  антисистема.  Многие системы имеют антисистемы (карандаш – ластик, топор – гвоздь) но многие не имеют (например – школа).

А вот системы, выполняющие  ту же функцию, но другим способом –  называются альтернативные системы (альтернатива – выбор). Например: ручка – карандаш, топор – пила и т.д.

Итак, к исходной системе  нужно подобрать альтернативную систему и антисистему. И на них  тоже нужно видеть по 9 экранов СО. Видите, как много можно узнать об исходной системе, если рассматривать  все 27 экранов. Вот это и есть талантливое  мышление.

Поскольку все в мире является системами, значит, каждая из них как-то влияет на окружающих соседок: давит, тянет, нагревает, остужает, притягивает, отталкивает и т.п. То есть, все системы взаимодействуют в той или иной степени с невообразимым количеством других систем. Практически невозможно учесть количество и степень взаимодействия конкретно взятой системы со всеми взаимодействующими. Да это и не нужно. Пренебрегают взаимодействием со всеми отдаленными и слабо взаимодействующими системами, а учитывают только сильные взаимодействия, либо важные для нас. Такие важные взаимодействующие системы в дальнейшем будем называть  Взаимодействующими Над Системами (ВНС).