Решение задач в условиях неопределенности

Контрольная работа

Вариант 3

Задание 1

Имеются 4 рабочих и 4 вида работ. Стоимость выполнения i-тым рабочим работы приведена в таблице, где каждому рабочему соответствует строка, а каждой работе –столбец. Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был занят только на одной работе, а суммарная стоимость выполненных работ была минимальной.

6	3	4	5
5	2	3	3
3	4	2	4
5	6	2	7

 

В нашем случае для решения  задачи используем метод равномерной оптимизации: 
 
 

Он применяется, если глобальное качество альтернативы представляет собой  сумму локальных (частных) качеств  и, кроме того, все критерии имеют  одну и ту же единицу измерения, например денежное выражение либо безразмерные величины. Главный недостаток метода -это возможность компенсации малых значений некоторых критериев достаточно большими значениями других.

Таким образом,

Min [6+3+4+5 ; 5+2+3+3; 3+4+2+4; 5+6+2+7 ] = [18; 13; 13; 21 ] = 13

То есть в данном случае, самым минимальным по затратам на заработную плату работникам будет 2 и 3 вариант, где итоговая стоимость  работ равна 13.

Задание 2

Автомобильный концерн «Кайзер», выпускающий мощный автомобиль «Родео»  с большим расходом топлива, столкнулся с определенными трудностями, вызванными давлением на рынке курирующего  концерна «Топаз». Эксперты выделили следующие  основные стратегии на рынке:

А1 – продолжать выпуск «Родео»

А2 – перейти к выпуску малолитражного автомобиля

А3 – внедрить среднелитражный  автомобиль нового поколении

Конкурирующий концерн «Топаз»  располагает 3 возможными стратегиями:

В1 – внедрить на рынок свой новый автомобиль-малютку

В2 – разработать автомобиль среднего класса

В3 – продолжить выпуск старого  автомобиля с мощным мотором и  большим расходом топлива.

Матрица выигрыша концерна «Кайзер» дана ниже. Найти оптимальные  стратегии игроков. Имеет ли игра седловую точку?

	В1	В2	В3
А1	-2	1	5
А2	5	2	4
А3	4	0	1

Рассмотрим основные критерии, позволяющие выбирать оптимальную альтернативу для принятия решения.

1) Критерий Лапласа.

Он основан на предположении, что каждый вариант развития ситуации (состояния «природы») равновероятен. Поэтому, для принятия решения, необходимо рассчитать функцию полезности Fi для каждой альтернативы, равную среднеарифметическому показателей привлекательности по каждому «состоянию природы»:

F=1/m*∑a_i^j

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна. Для примера:

А1 =1/4*(-2+1+5) = 1

А2 =1/4*(5+2+4) = 2,75

А3 = ¼*(4+0+1) =1,25

Видно, что функция полезности максимальна для альтернативы А2, следовательно, ее рациональнее всего принять.

2) Критерий Вальда.

Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности ai (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный. Для нашего примера: -2; 2; 0; Видно, что наилучшим из наихудших показателей обладает альтернатива А2 , для нее α=2 наибольшее.

3) Критерий максимального оптимизма. Наиболее простой критерий, основывающийся на идее, что ЛПР, имея возможность в некоторой степени управлять ситуацией, рассчитывает, что произойдет такое развитие ситуации, которое для него является наиболее выгодным. В соответствии с критерием принимается альтернатива, соответствующая максимальному элементу матрицы выигрышей. Для приведенного примера это А21 = 5 и А13 = 5.

4) Критерий Гурвица.

Это самый универсальный  критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» ЛПР. Введем некоторый коэффициент a, который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для ЛПР исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-a). Коэффициент доверия a показывает, насколько ЛПР может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для ЛПР равны, то следует принять a=0,5.Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие - значение каждой альтернативе.

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

Альтернатива	Минимум	Максимум	Α*min + (1-α)*max
А1	-2	5	5-7α
А2	2	5	5-3α
А3	0	4	4-4α

 

При α=0,5, самым оптимальным  будет вариант А2 с максимальным результатом выигрыша 3,5.

Определим седловую точку  игры.

 

Стратегии	B1	B2	B3	Минимумы строк
A1	-2	1	5	-2
A2	5	2	4	2
A3	4	0	1	0
Максимумы столбцов	5	2	5

α = Максимум (Минимумы строк) = 2 - нижняя цена игры 
β = Минимум (Максимумы столбцов) = 2 - верхняя цена игры

Нижняя и верхняя цены игры равны. Следовательно, седловая точка  равна 2.

 

Задание 3

Для трех альтернатив принятия решений А1, А2, А3 и трех возможных вариантов развития событий вне предприятия П1, П2, П3 ожидаемые поступления прибыли приведен в таблице. На основе критериев максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица найдите оптимальные альтернативы:

	В1	В2	В3
А1	19	17	20
А2	15	23	22
А3	21	18	16

 

По критерию максимакса (оптимистичному варианту) выбираем максимальные значения в строках – 20, 23, 21. Среди них также выбираем максимальное значение – 23, которое и удет являться оптимальным вариантом решении – А22.

По критерию Вальда, скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности ai  (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный. Для нашего примера: 17; 15; 16; Видно, что наилучшим из наихудших показателей обладает альтернатива А12 , для нее α=17 наибольшее.

Критерий Сэвиджа. Он основан на принципе минимизации потерь, связанных с тем, что ЛПР принял не оптимальное решение. Для решения задачи составляется матрица потерь, которая называется матрицей рисков , которая получается из матрицы выигрышей путем вычитания из максимального элемента каждого столбца:

2	6	2
6	0	0
0	5	6

 

Далее, для каждой альтернативы определяем величины, равные максимальному риску (наибольшее число в каждой строке матрицы рисков) и выбирают ту альтернативу, для которой максимальный риск минимален. В нашем примере: 6,6,6. В во всех случаях максимальные риски имеют одинаковые значения, следовательно, любой из вариантов оптимален.

Критерий Гурвица. Введем некоторый коэффициент α, который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для ЛПР исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-a). Коэффициент доверия a показывает, насколько ЛПР может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для ЛПР равны, то следует принять a=0,5.Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие - значение каждой альтернативе.

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

Альтернатива	Минимум	Максимум	α*min + (1-α)*max
А1	17	20	20-3α
А2	15	23	23-8α
А3	16	21	21-5α

 

При α=0,5, самым оптимальным  будет вариант А2 с максимальным результатом выигрыша 19.