Депозитария и их роль на рынке ценных бумаг

2.6 Оценка «бета»

Как было показано, значение b равно отношению ковариации ожидаемой доходности акций со среднерыночной доходностью и вариации ожидаемой среднерыночной доходности. На практике оценить вариации и ковариации ожиданий трудно. Поэтому для оценки b можно использовать фактическую доходность вместо ожидаемой. При этом предполагается, что соотношение между доходностью конкретных акций и среднерыночной доходностью со временем не изменяется, и поэтому ковариацию фактической доходности можно использовать в качестве оценки ковариации будущей доходности. Тот же аргумент применим и к вариации доходности, поскольку она тоже стабильна во времени.

Обычно для вычисления b используются данные за последние несколько месяцев. Мы можем применить следующую формулу регрессии.

Rjt = aj + bj*Rmt + et

В этом уравнении Rjt и Rmt — фактическая доходность акций j и среднерыночная доходность за месяц t. Коэффициент регрессии bj дает оценку b для акций j и aj — свободный член регрессии. Последний член ej представляет ошибку.

2.7 Аналоги модели САРМ

Модель САРМ не единственная в своем роде. Существуют другие похожие на нее модели.

В данной главе я собираюсь  коротко рассмотреть эти модели формирования портфеля ценных бумаг.

2.7.1 Модель Марковица

Исторически сложилось так, что эконометрические методы часто (чаще, чем следовало бы) основываются на корреляционном и регрессионном  анализе. Например, в финансовой эконометрике еще не забыта (и переходит из учебника в учебник) теория «эффективного  портфеля» Марковица (возникла в 50-х годах ХХ века). Напомним суть этой теории.

Речь идет о том, чтобы  из многих торгуемых на финансовом рынке активов составить (путем  разделения имеющегося начального капитала между разными активами) некий  по возможности более выгодный портфель. Простейшая схема спекуляции следующая.

В начальный момент t=0 (пусть  для наглядности это начало года) происходит формирование портфеля, а  в конечный момент t = T (пусть это конец года) этот портфель продается. Пусть цена i-го актива в начальный момент есть S₀(i), а в конечный момент S_T(i). По определению, величина

r_i = (S_T(i) – S_o(i))/S₀(i), i = 1, 2, … , n, (1)

называется возвратом i-го актива ( это относительная прибыль спекулянта, купившего актив по цене начала года и продавшего его по цене конца года; конечно, возврат может быть и отрицательным, если спекулянт неудачно выбрал актив). Основная цель каждого спекулянта состоит в том, чтобы возврат был побольше. Но средство для достижения этой цели у него, в сущности, одно: как-то разделить имеющийся начальный капитал (равный, допустим 1) на части x₁, x₂, … , x_n, (пусть выполняются условия x₁+ x₂+ ... +x_n = 1 и x_i неотрицательны) и составить в начальный момент портфель P₀ = Σg_iS₀(i), где g_i = x_i/S₀(i) – количество i-го актива в портфеле. В конечный момент t=T такой портфель будет стоить P_T=Σg_iS_T(i) = Σg_iS₀(i)(1 + r_i). Таким образом (с учетом того, что P₀ = 1) получается, что возврат портфеля выражается формулой

P_T – P₀ = Σg_iS₀(i)r_i = Σx_ir_i . (2)

Иными словами, возврат портфеля является линейной комбинацией возвратов  отдельных активов.

Суть подхода Марковица состоит в том, что возвраты отдельных активов считаются случайными величинами. Вопрос о статистической однородности совокупности возвратов за разные периоды (для одного и того же актива) у Марковица (и вообще в эконометрике) вовсе и не обсуждается.

2.7.2Модель Арбитражного  ценообразования

САРМ представляет собой  однофакторную модель. Это означает, что риск является функцией одного фактора — b-коэффициента, выражающего  зависимость между доходностью ценной бумаги и доходностью рынка. Возможно, зависимость между риском и доходностью более сложная. В этом случае можно предположить, что требуемая доходность акции будет функцией более чем одного фактора. Например, не исключено, что инвесторы могут отдавать приоритет капитализированному доходу перед дивидендами, поскольку он не подлежит налогообложению до момента продажи акций. Тогда из двух акций с одинаковым рыночным риском та, по которой выплачивается более высокий дивиденд, должна иметь более высокую требуемую доходность. Более того, не исключено, что зависимость между риском и доходностью является многофакторной. Стивен Росс предложил метод, названный теорией арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory, APT). Концепция APT предусматривает возможность включения любого количества факторов риска, так что требуемая доходность может быть функцией трех, четырех или даже большего числа факторов. Теория САРМ утверждает, что требуемая доходность каждой акции равна безрисковой доходности, сложенной с произведением рыночной премии за риск и b-коэффициента акции.

Доходность рынка зависит от множества факторов, таких как экономическая ситуация в стране, оцениваемая валовым внутренним продуктом, стабильность мировой экономики, темп инфляции, изменения в налоговом законодательстве и т. д. Акции различных компаний неодинаково подвержены влиянию этих факторов. Таким образом, очевидно, что требуемая и фактическая доходность любой акции — это функция не одного фактора (среднерыночная доходность), а нескольких экономических факторов.

К тому же APT предусматривает  меньшее количество исходных допущений, чем САРМ, и, следовательно, представляет собой более обобщенную теорию. Наиболее важным является отсутствие в APT требования САРМ о том, чтобы все инвесторы владели рыночным портфелем, что, естественно, не встречается на практике. Концепция APT имеет тем не менее ряд узких мест, самым серьезным из которых является то, что в рамках APT не обосновывается заранее перечень факторов. Основываясь на эмпирических данных, некоторые исследователи полагают, что только три или четыре фактора следует принимать во внимание; чаще всего называют инфляцию, изменение объема промышленного производства, разность в доходности между низко- и высококачественными облигациями и изменение структуры процентных ставок.

 

Глава 3. Анализ модели САРМ на основе российского фондового рынка

Познакомившись с моделью  САРМ и ее аналогами, я приступаю  к анализу данной модели, взяв показатели российского фондового рынка. О  том, какие результаты получились, повествует данная глава.

3.1 Применение эконометрического  аппарата для оценки риска  и доходности.

Какого-либо безусловного обещания хорошей доходности для спекулянта модель CAPM не дает: обещание может быть только условным, например, следующим: «если в течение будущего года среднерыночная плата за риск составит 5%, то математическое ожидание возврата актива, бета которого равна двум, будет  равно 10% плюс безрисковый возврат». При этом замечается, что обычно большие значения «бета актива» связаны и с большой изменчивостью (волатильностью) цен данного актива, т.е. в конечном счете с большей вероятностью получить убыток при покупке именно этого актива. Речь о корреляциях случайных добавок для разных активов (т.е. о каком-то варианте эффективного портфеля) в CAPM не идет.

Приняв модель, мы действуем  далее в соответствии с классическим регрессионным анализом: оцениваем  коэффициент β_i для каждого актива по данным о прошлых возвратах за какое-то количество периодов времени. Впрочем, некоторые учебники рекомендуют брать в качестве оценки β_i величину cov(r_i,r_m)/Dr_m .(Конечно, имеется в виду, что ковариация и дисперсия заменяются их выборочными аналогами.) Многие авторы считают, что она ошибочна по следующим причинам. Во-первых, классический регрессионный анализ в случае модели без свободного члена, т.е. вида

Y = βX + E (E обозначает ошибку),

рекомендует несколько иную оценку, а именно

(Σx_iy_i)/ (Σx_i²), (1)

которая более эффективна, чем критикуемая рекомендация. (По той простой причине, что (Σx_i²) всегда больше, чем выборочная дисперсия x_i, причем – особенно в эконометрике – разница может быть значительной.) Во- вторых, рекомендуемая оценка вообще верна лишь в том предположении, что в наблюдениях за все периоды безрисковый возврат r_f остается постоянным. (В противном случае надо брать ковариации не самих возвратов, а их разностей с безрисковым возвратом.)

С точки зрения того опыта, который имеется в области  применений регрессионного анализа, совершенно ясно, что требуется экспериментальная  проверка эффективности любой модели, в частности и CAPM. В сложившемся  эконометрическом подходе плохо  еще и то, что такие проверки направляются на свойства остаточного  члена в уравнениях модели (который  изображает случайную ошибку). Возникают  различные альтернативные гипотезы типа гетероскедастичности и/или зависимости остатков, которые определенным образом тестируются. Эконометрист видит окончательное счастье в том, чтобы модель прошла определенный набор тестов. Но следовало бы знать, что из истории обработки наблюдений в физическом и техническом эксперименте однозначно следует, что вероятностные предположения о модели остатков никогда не бывают выполнены. (Это, конечно, значит, что и те доверительные интервалы для параметров, которые принято вычислять, не заслуживают особого доверия.)

В случае модели CAPM применения мыслятся как довольно слабые: ведь все связывается с неизвестным  будущим поведением среднерыночного  возврата. Но все-таки и это представляет определенный если не практический, то научный интерес: хотя бы сама законность понятия «беты актива». Следовательно, необходимо проверить, во-первых, действительно  ли в разные периоды времени можно  для фиксированного актива говорить о примерно постоянном значении «бета». Во-вторых, следует оценить эффективность  того условного (при условии, что  будущее поведение рыночного  индекса известно) предсказания будущих  возвратов актива, которое вытекает из модели.

Изменчивость цен актива характеризуется параметром, который  называется волатильностью. Вероятностное определение волатильности заключается в следующем. Предполагается, что динамика рыночных цен актива S_t обладает тем свойством, что математическое ожидание квадрата логарифмического приращения цены за время h примерно пропорционально h. Иными словами, постулируется соотношение

E(ln S_t+h - lnS_t)² = σ²h. (2)

(Конечно, имеется в виду, что значение приращения времени  h не слишком малое и не слишком большое: ориентировочно в пределах от десятков минут до десятков дней.) Параметр σ в соотношении (2) и называется волатильностью. Теоретически он считается постоянным для фиксированного актива. На самом деле он несколько колеблется, но все-таки является достаточно серьезным параметром. Различные активы (например, акции различных компаний) могут иметь различающиеся (в два и более раз) волатильности, при этом (как правило) если волатильность одного актива значительно больше волатильности другого при оценке по одному интервалу времени, то это различие сохраняется и для других интервалов времени. (Понятно, что волатильность оценивается как среднее значение квадрата логарифмического приращения цены при каком-то фиксированном небольшом значении h, например, h=1 день. Но установилась неудачная традиция, согласно которой эта оценка пересчитывается на значение h=1 год, в то время как для таких больших интервалов времени динамика рыночных цен вообще не может рассматриваться как чисто случайная, т.е. неясен смысл математического ожидания в левой части соотношения (2).) Поскольку понятие волатильности, несомненно, имеет довольно точный смысл, вполне желательно его сопоставление с другими параметрами, в частности, с «бета актива». [5]

3.2 Описание фактического  материала и способов его сопоставления  с CAPM.

Я использовал базу данных, которая представляет собой цены закрытия торгов для акций ряда российских компаний за период с начала 1999 года по сентябрь 2008 года с интервалом в  один месяц. Всего в этой базе представлено 8 компаний, однако данные за весь период 1999-2008 годов имеются лишь для нескольких компаний. Но на общую картину это  не должно сильно повлиять. Сама выборка  из 8 компаний является несколько смещенной: в нее вошли лишь те компании, которые рассматривались как  наиболее известные и перспективные  для спекуляций (представленные в  списке индекса ММВБ и РТС). Для  экспериментальной проверки модели, прежде всего, следует выбрать период T, в течение которого планируется  спекуляция. Я выбрал T = один месяц  или 20 торговых дней. Такой период позволяет  создать разумное число наблюдений для оценки параметра бета. Выбор  периода меньшей длины позволил бы увеличить количество наблюдений, но, с другой стороны, понятно, что  при уменьшении длины интервала  слабеет связь между поведением рыночного индекса и актива. Таким  образом, я занимался вопросом о  применимости CAPM к планированию среднесрочных  спекуляций. Понятно, что мои данные, охватывающие лишь чуть более 4 лет  для некоторых компаний, не позволяют  исследовать долгосрочные спекуляции (например, при T=1 год). Впрочем, приложимость вероятностных моделей к динамике рыночных цен за большое время априори вряд ли может быть лучшей, чем в случае меньших промежутков времени.

В отношении рыночного  индекса я использовал базу данных ММВБ. Изменения индексов ММВБ это  усредненное изменение цен акций  крупнейших российских компаний, таких  как Газпром, Лукойл, Сбербанк и т.д. Для российских компаний это хороший аналог среднерыночной доходности акций компаний за определенные период, тем более рассматриваемые мною фирмы входят в показатель ММВБ.

Что касается безрисковой ставки процента Rf, то я взял усредненную ставку по срочным депозитам Сбербанка России со сроком вклада пол года, которая составила 7%. Можно было также использовать доходность кратковременных государственных обязательств.

Сумма первоначального  взноса	% годовых
от 1 000 до 100 000	6,25
от 100 000 до 1 000 000	7,25
1 000 000 и более	7,5

Я рассматривал следующие  вопросы:

1. Устойчивость оценок  бета по различным промежуткам  времени. 

С целью исследования устойчивости такого рода массив данных делился  на две равные части. По половине значений возвратов (доходностей) на этих промежутках  определялось значение «бета» для данной компании. Сопоставлялись данные, полученные за первый период времени и за следующий. Теоретически оцененные значения должны быть разумно близкими. Для оценки коэффициента регрессии использовался  обычный метод наименьших квадратов, описанный в пункте 1.6

2. Объяснительные возможности  модели CAPM.

Под этим понимается следующее. Для каждой компании оценим «бета» по данным до 2008 года. Полученные значения применим для «объяснения» доходности за последний, восьмой год. Под «объяснением»  имеется в виду такая процедура. Считаем, что за восьмой год известны как значения индекса ММВБ (и тем  самым его доходности за любые  промежутки времени), так и безрисковая доходность. Воспользуемся формулой

R_i* - r_f = β_i(r_m - r_f),

в которой коэффициент  β_i обозначает оценку «бета» для данной компании, полученную по данным за период до сентября 2008 года, а R_i* -- так сказать, «теоретический» возврат акций данной компании за месячный промежуток. Далее «теоретический» возврат сопоставлялся с фактически наблюдаемым.

3.3 Результаты расчетов 

Таблицы расчетов из наблюдений для 8 компаний, понятно, довольно объемны. Для упрощения, массивы с расчетами  я привел в конце моей курсовой работы, а здесь сконцентрируюсь  на полученных результатах.

Компания	b1	b2
Аэрофлот	1,73	11,96
Газпром	-0,1	0,12
ГМК НН	0,29	-0,22
Лукойл	-0,06	-0,04
Роснефть	-0,13	-0,04
Ростелеком	0,2	0,1
Сбербанк	0,3	0,13
МТС	-0,05	0,08