Контрольная работа по "Основам теории управления"

 

а) 2. Особые линейные системы, среди  которых различают:

линейные системы с переменными параметрами- это такие САУ, в которых хотя бы одни параметры системы изменяются во времени, например, коэффициент усиления.

линейные САУ с распределенными  параметрами- это такие САУ, динамика которых описывается частными производными.

линейные системы с запаздыванием- это такие САУ, в которых присутствует хотя бы одно звено чистого запаздывания (непрерывному входному сигналу соответствует непрерывный выходной сигнал, сдвинутый по времени на t, где t - время запаздывания).

 

б) Нелинейные системы - это такие САУ, в которых хотя бы одно звено описывается нелинейным уравнением или имеется нелинейность иного вида, такая как произведение двух переменных, квадратный корень, степень и др.

 

Среди нелинейных систем также выделяют особые нелинейные системы:

б) 1. нелинейные системы  с переменными параметрами;

б) 2. нелинейные системы  с распределенными параметрами;

б) 3. нелинейные системы  с чистым запаздыванием;

б) 4. К нелинейным системам относятся релейные системы

5.Основные  линейные законы регулирования.

Простейшим  является пропорциональный закон и  регулятор в этом случае называют П- регулятором. При этом U=U0+kD , где U0-постоянная величина, k - коэффициент пропорциональности. Основным достоинством П - регулятора является простота. По существу, это есть усилитель постоянного тока о коэффициентом усиления k. Недостатки П - регулятора заключаются в невысокой точности регулирования, особенно для объектов с плохими динамическими свойствами.

Интегральный  закон регулирования и соответствующий И - регулятор реализует следующую зависимость:

,

где Т -постоянная времени интегрирования.

Техническая реализация И - регулятора представляет собой усилитель  постоянного тока с емкостной  отрицательной обратной связью. И - регуляторы обеспечивают высокую точность в установившемся режиме. Вместе с тем И - регулятор вызывает уменьшение устойчивости переходного процесса и системы в целом.

Пропорционально-интегральный закон регулирования позволяет  объединить положительные свойства пропорционального и интегрального законов регулирования. В этом случае ПИ - регулятор реализует зависимость:

Мощным средством  улучшения поведения САР в  переходном режиме является введение в закон регулирования производной  от ошибки. Часто эта производная  вводится в пропорциональный закон регулирования. В этом случае имеем пропорционально-дифференциальный закон регулирования, регулятор является ПD- регулятором, который реализует зависимость:

Кроме ПИ и ПД регуляторов, часто на практике используют ПИД -регуляторы, которые реализуют пропорционально–интегрально- дифференциальный закон регулирования:

Среди нелинейных законов регулирования наиболее распространены релейные законы. Существуют двухпозиционный и трехпозиционный  законы регулирования. Аналитически двухпозиционный  закон регулирования записывается следующим образом:

Трехпозиционный закон регулирования имеет следующий  вид:

На рис 1.5. представлены в графическом виде релейные законы регулирования.

При трехпозиционном  законе регулирования величина D Н определяет зону нечувствительности регулятора.

Применение  релейных законов позволяет при  высоком быстродействии получить такие  результаты, которые невозможно осуществить  с помощью линейных законов,

 

6.Физический  смысл весовой (импульсной переходной) функции линейной системы.

Весовая функция  звена. Весовой функцией звена k(t) называется оригинал (т. е. обратное преобразование Лапласа) передаточной функции, а именно:

где si—все полюса передаточной функции W(s). Иногда вместо k(t) применяют  обозначение w(t). В этой формуле Res обозначает вычеты (см. теорию функций комплексного переменного).

 

 

Поскольку при  нулевых начальных условиях  согласно (1.6)

то в случае, если Х1 = 1, т. е. если х1 (t) = δ (t) — дельта-функция, будет иметь место равенство

Известно, что  δ-функция представляет собой единичный мгновенный импульс (рис. 1.5),

для которого t1 → 0, c1 → ∞, причем площадь t1 c1 = 1.

Следовательно, физический смысл весовой функции  звена есть реакция звена на единичный  мгновенный импульс, поданный на вход звена.

Иначе говоря, весовая функция k(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена (рис. 1.5) при подаче на его вход единичного импульса. Поэтому

весовую функцию  часто называют импульсной переходной функцией.

 

7.Понятия  АФХ, АЧХ, ФЧХ. Достоинство ЛАХ  перед АЧХ.

Амплитудно-фазовая  частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза иамплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Главнейшим  достоинством ЛАХ является возможность  построения ее во многих случаях практически  без вычислительной работы. Это особенно важно тогда, когда частотная  передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАХ может быть найдена суммированием ординат ЛАХ, соответствующих отдельным сомножителям .

8.Понятия  управляемости и наблюдаемости  САУ. Критерии управляемости и наблюдаемости стационарных линейных САУ.

Состояние   линейной системы управляемо, если существует такой вход  , который переводил бы начальное состояние   в конечное состояние   (начало координат) за конечный интервал времени  .

Система называется полностью управляемой, если все компоненты её вектора состояний управляемы.

Система называется наблюдаемой, если на конечном интервале  времени по выходу системы в конце  этого интервала   при известном управляющем воздействии   можно определить все начальные компоненты вектора состояния  '.

Соответственно  наблюдаемыми состояниями системы  являются те компоненты вектора состояния, которые можно восстановить по условиям, приведённым выше.

Более формально  можно сказать, что наблюдаемость  позволяет по выходу системы судить о процессах, происходящих внутри неё. Ввиду того, что состояния системы играют важную роль в управлении с помощью обратных связей, важно, чтобы они были наблюдаемыми.

Для линейных систем существует критерий управляемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка   (с   компонентами вектора состояния),   входами и   выходами, записанная в виде:

где

;  ;  ;

,  ,  ,  ,  .

здесь   — «вектор состояния»,   — «вектор выхода»,   — «вектор входа»,   — «матрица системы»,   — «матрица входа»,   — «матрица управления»,   — «сквозная матрица».

Для неё можно  составить матрицу управляемости:

Согласно критерию управляемости если ранг матрицы управляемости равен  , система является полностью управляемой.

Для линейных систем существует критерий наблюдаемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка   (с   компонентами вектора состояния),   входами и   выходами, записанная в виде:

где

;  ;  ;

,  ,  ,  ,  .

здесь   — «вектор состояния»,   — «вектор выхода»,   — «вектор входа»,   — «матрица системы»,   — «матрица входа»,   — «матрица управления»,   — «сквозная матрица».

Для неё можно  составить матрицу наблюдаемости:

Согласно критерию наблюдаемости если ранг матрицы наблюдаемости равен  , система является наблюдаемой.

 

9.Краткая  характеристика особых ТДЗ.

      Особые TДЗ CAУ - нeминимaльнo-фaзoвыe (если пoлюc иx пepeдaтoчнoй функции или xoтя бы oдин нyль  имeeт  пoлoжитeльнyю  вeщecтвeннyю  чacть)  нeyстойчивыe  звeнья,  звeнья   c   pacпpeдeлeнными пapaмeтpaми (иppaциoнaльныe - пepeдaтoчныe функции c пoдкopeнными выpaжeниями, тpaнcцeндeнтныe c    e^(-pt)  -  тpaнcцeндeнтныe  пepeдaтoчныe  функции),  диcкpeтные звeнья c мoдyлиpoвaнным  cигнaлoм.  Oни cocтaвляют ocнoвy ocoбыx линeйныx CAУ: CAУ c  пepемeнными пapaмeтpaми,  CAУ c  зaпaздывaниeм и pacпpeдeлeнными пapaмeтpaми,  инoгдa  к ним пpичиcляют  импyльcныe  CAУ или CAУ c  диcкpeтным временем.

 

10.Основные  свойства графов прохождения  сигналов.

Сигнал умножается на коэффициент передачи ветви и  проходит к конечному узлу В каждом узле все сигналы входящих ветвей алгебраически суммируются и создают полный сигнал в этом узле. В свою очередь этот сигнал передается вдоль каждой выходящей ветви. Каждому такому узлу соответствует линейное уравнение, имеющее столько членов, сколько присоединено ветвей. 

Расчетная часть

Объект управления (ОУ) описывается  линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:

       Определить по данному уравнению  для ОУ:

1. передаточную функцию;
2. частотные характеристики – амплитудную (АЧХ), фазовую (ФЧХ) и логарифмические (ЛЧХ);
3. переходную и импульсную переходную (весовую) функции;
4. начертить графики переходных и частотных характеристик.

Использовать следующие коэффициенты:

Т1 = 4,000

Т2 = 6,000

Т3 = 4,000

k = 5,000.

Решение:

1) Подставим коэффициенты в уравнение  и получим 

Передаточную функцию ОУ в общем  случае можно представить в виде отношения  , где и - изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения. Таким образом, передаточная функция примет вид:

,

или

.

2) Определяем частотные характеристики – амплитудную (АЧХ), фазовую (ФЧХ) и логарифмические (ЛЧХ).

 

Частотная передаточная функция  может быть представлена в виде:

, (1),

где      – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

 – фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

 – вещественная часть частотной  характеристики;

 – мнимая часть частотной  характеристики.

 

 

Подставим в выражение (1) вместо . Получим следующее выражение, за счет свойства i2 = -1:

     (2),

Исходя из полученных выражений, выделим амплитудную  и фазовую частотные характеристики:

Приведем (2) к  виду (1). Для этого умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное со знаменателем:

  (3),

Преобразовав  данное выражение, получим:

 

Амплитудная частотная  характеристика определяется из следующего соотношения:   

Следуя из выражения  для  , после ряда преобразования получим:

Выражение для  ФЧХ будет иметь вид:

Подставив в  выражения для АЧХ и ФЧХ наши данные, получим:

 

Определим ЛАЧХ из соотношения:

.

Данная характеристика имеет размерность  дБ (децибелы) и показывает изменение  отношения мощностей выходной величины к входной. Для удобства ЛАЧХ строят в логарифмическом масштабе.

Фазовая частотная характеристика, построенная в логарифмическом  масштабе, будет называться логарифмической  фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).

 

Определим импульсную переходную (весовую) функцию. Весовая функция представляет собой реакцию системы на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход. Весовая функция связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа.

.

Следовательно, весовую функцию  можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к передаточной функции.

.

 

Найдем обратное преобразование Лапласа  от передаточной функции и построим график весовой функции.

Найдем обратное преобразование Лапласа  от , тем самым найдем переходную функцию , которая является реакцией системы на ступенчатое воздействие, и построим её график.

Найдем весовую функцию. Для  этого при помощи MathCad’а применим обратное преобразование Лапласа к функции и получим:  

 

 

 

Найдем переходную функцию. Для  этого, опять же при помощи MathCad, применим обратное преобразование Лапласа к функции , получим