Основы проведение опыта

Совокупность всех различных возможных  состояний определяет сложность  «черного ящика» и общее число возможных опытов.

Результаты эксперимента используются для получения математической модели объект исследования, которая представляет собой уравнение, связывающее параметр оптимизации и факторы. Такое  уравнение называется функцией отклика.

Использование для получения модели всех возможных опытов приводит к  абсурдно, большим экспериментам. Задача выбора необходимых для эксперимента опытов, методов математической обработки  их результатов и принятия решений  – это и есть задача планирования эксперимента. Частный случай этой задачи – планирование экстремального эксперимента, т. е. эксперимента, поставленного с целью поиска оптимальных условий функционирования объекта. Планирование экстремального эксперимента – метод выбора минимального количества опытов, необходимых для отыскания оптимальных условий.

Под экспериментом будем понимать метод научного исследования, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на объект исследования путем создания искусственных условий или использования естественных с целью получения информации о его свойствах.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

Под планом эксперимента – понимается совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Под словом опыт в данном случае имеется в виду отдельная, элементарная часть эксперимента. Соответственно, понятие планирование эксперимента, определяемое как процесс разработки плана эксперимента, включает в себя все, что делается по разработке стратегии экспериментирования от начальных до заключительных этапов изучения объекта исследования, т.е. от получения априорной информации до создания работоспособной математической модели объекта исследования или определения оптимальных условий. Планирование способствует значительной интенсификации труда исследователя и сокращению затрат на эксперимент, повышению достоверности полученных результатов исследования.

Основным математическим аппаратом теории планирования эксперимента является теория вероятностей и математическая статистика.

Многомерное факторное пространство – это множество точек, каждая из которых соответствует определенной комбинации факторов. Область возможных комбинаций факторов называется областью возможных (допустимых) планов эксперимента.

Вектор, образуемый выходными параметрами–характеристиками свойств или качеств объекта, называют откликом, а зависимость отклика от рассматриваемых факторов – функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве называют поверхностью отклика. Функцию отклика называют также целевой функцией, имея в виду, что при планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных условий она является критерием оптимальности.

Планирование эксперимента проводится в несколько этапов :

• постановка задачи (определение цели эксперимента, выяснение исходной ситуации, оценка допустимых затрат времени и средств, установление типа задачи);
• сбор априорной информации (получение литературы, опрос специалистов и т.п.);
• выбор способа решения и стратегии его реализации (установление типа модели, выявление возможных влияющих факторов, выявление выходных параметров, выбор целевых функций, создание необходимых нестандартных технических средств, формулировка статистических задач, выбор или разработка алгоритмов программ обработки экспериментальных данных).

Основными концепциями современного подхода к организации эксперимента являются рандомизация, многофакторность и автоматизация.

Сущность рандомизации состоит в следующем. Любое экспериментальное исследование проводится, как правило, в условиях действия систематических ошибок и факторов, которые трудно поддаются учету и контролю. При традиционном подходе к эксперименту исследователи нередко пытаются отделить изучаемое явление от мешающих факторов, как это можно сделать в детерминированных объектах с хорошо изученной структурой. Очевидно, что в недетерминированных объектах с огромным количеством случайных факторов ценность эксперимента, проведенного в особых условиях, не может быть высокой.

Концепция рандомизации предлагает принципиально новый подход к организации выборочных данных эксперимента. План эксперимента составляется таким образом, чтобы рандомизировать, то есть сделать случайными в пространстве и во времени, систематически действующие мешающие факторы. Тогда эти факторы можно рассматривать как случайные величины и, следовательно, учесть статистически их влияние в значении ошибки эксперимента. Иными словами, в противоположность традиционному подходу к эксперименту со стремлением стабилизировать мешающие факторы рандомизация внесла концепцию случая в эксперимент.

Принцип многофакторности отражает новый подход к эксперименту в задачах с многими факторами. При изучении объектов с несколькими факторами согласно этому принципу исследователю предлагается ставить опыты так, чтобы варьировать все факторы сразу в отличие от традиционного подхода, когда исследователь пытается изучать действие каждого фактора при поочередном варьировании. Организация эксперимента с применением многофакторных схем варьирования позволяет повысить точностью оценок параметров подбираемых моделей для недетерминированных объектов, точнее оценить чувствительность выходной зависимой переменной объекта к вариации изучаемых входных независимых переменных.

Развитие технических программных  средств вычислительной техники  дает возможность говорить о новой  концепции в организации научных  исследований – автоматизации эксперимента. Технические средства вычислительных комплексов позволяют на качественно новом уровне по точности, быстродействию и наглядности решать задачи сбора, переработки и отображения информации. Программные средства предоставляют исследователю новые возможности организации процесса анализа данных, создания автоматически управляемой последовательности процедур анализа, использования интерактивного режима работы с пакетами прикладных программ.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

• планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;
• планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;
• планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
• планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;
• планирование при изучении динамических процессов и т.д.

При пассивном эксперименте существуют только факторы в виде входных контролируемых, но неуправляемых переменных, и экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя. Задача планирования в этом случае сводится к оптимальной организации сбора информации и решению таких вопросов, как выбор количества и частоты измерений, выбор метода обработки результатов измерений.

Наиболее часто целью пассивного эксперимента является построение математической модели объекта, которая может рассматриваться  либо как хорошо, либо как плохо организованный объект. В хорошо организованном объекте имеют место определенные процессы, в которых взаимосвязи входных и выходных параметров устанавливаются в виде детерминированных функций. Поэтому такие объекты называют детерминированными. Плохо организованные или диффузные объекты представляют собой статистические модели. Методы исследования с использованием таких моделей не требуют детального изучения механизма процессов и явлений, протекающих в объекте.

 

Рис 9.1. График регрессионной зависимости y от х

Множество всех точек проведения экспериментов

xⁱ=(xⁱ₁, xⁱ₂, … , xⁱ_n),  i=1, 2, …, N

представляется с помощью матрицы

и называется планом эксперимента

Однофакторный пассивный эксперимент  проводится путем выполнения n пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного параметра х и соответствующих значений выходного параметра y. Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости математического ожидания y от значения х, носящей название регрессионной. Соответствующая линия А В показана на графике (рис.9.1).

Целью однофакторного пассивного эксперимента является построение регрессионной  модели. Следует отметить, что регрессионная модель является приближенной оценкой истинной регрессионной зависимости. Для построения модели следует провести обоснованный выбор аппроксимирующей функции. Критериями выбора являются простота, удобство пользования, обеспечение требуемой точности аппроксимации, адекватность. Адекватная регрессионная модель позволяет предсказывать с требуемой точностью значения выходной величины в некоторой области значений входной.

Нередко для выбора аппроксимирующей функции пользуются кривой регрессионной зависимости, проведенной "на глаз".

Чаще всего регрессионная модель представляется с помощью аппроксимирующей функцией в виде полинома

.          (9.2)

Приняв такую модель, следует  определиться в порядке полинома, после чего вычислить параметры а₁, а₂ ,…,а_m.

В общем случае результаты измерения l_i значения выходной величины и ее значения y_i определяемые регрессионной зависимостью от входного фактора x_i, не совпадают, т.е. отлична от нуля разность D_i=l_i–y_i, что связано с наличием погрешности измерения и возмущающих воздействий. Обычно считают, что D_i не зависит от значения y (т.е. аддитивна) и подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием.

Если выполнено n измерений, то их результаты можно записать в виде:

       (9.3)

Система уравнений (9.3) линейна относительно a_j. Для нахождения оценок a_j из условия минимума D_j необходимо добиться равенства нулю всех частных производных функций по a_j. Получим систему нормальных уравнений:

  (j=1,2,…,m).       (9.4)

Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных a_j и записав уравнения системы (9.4) в стандартном виде можно вычислить искомые параметры a_j методом определителей.

Многофакторный пассивный эксперимент  дает n значений выходного параметра y объекта, соответствующих измерениям n совокупностей значений выходных параметров:

x₁₁, x₁₂ ,…, x_1k;

x₂₁, x₂₂ ,…, x_2k;

.……...............

x_n1, x_n2 ,…, x_nk.,

где x_ij – значение j входного параметра в i–м измерении (j=1,2,...,n).

В качестве регрессионной модели примем линейный многочлен вида

у = а₀ + а₁х₁ +a₂x₂+ …+ а_kх_k.          (9.5)

Заменим переменные их центрированными  значениями:

Тогда модель принимает вид

.      (9.6)

На основе (9.6) составляется система  нормальных уравнений вида (9.4) (с  заменой m на k) и вычисляются оценки параметров . Затем вычисляется оценка

и осуществляется переход к исходной модели (9.5).