Системы уравнений

 

 

 

 

Проект по математике

 

Системы уравнений

На тему:

 

Выполнила: ученица 11 класса Грибской СОШ Тафинцева Настя 

Руководитель: Мякинникова О.Б.

 

 

 

 

Уравнение записывают одно под  другим и объединяют фигурной  скобкой. Порядок уравнений не  играет роли.

Например:

               

               х+у=39               

              х-у=11

 

Системой уравнений называется множество уравнений, решаемых совместно.

 

называется множество пар (х;у), удовлетворяющих каждому уравнению.

 

Обозначение.

 

 

 

                                                           

 

5х+3у=7

2х+3у=1

 

Решением системы 

уравнений с 2 переменными

 

 

 

 

Система двух уравнений,

 

из которых одно первой степени,

 

 а другое второй. 

Система уравнений вида:

                

                                                                                      

 

 

 

 

х + у = а 

ху = b.

 

 

Уравнение первой степени

 

Уравнение второй степени

 

 

 

 

Пусть дана система:

 

• 4 у + х + 3у = 1

 

 

   2 х – =

 

Воспользуемся способом подстановки

 

у

 

1

 

2

 

 выразим из второго уравнения у.

 

 

 

 

Тогда уравнение 2-й степени после подстановки дает уравнение с одним неизвестным х:

 

• 4 у + х + 3у = 1

 

 

   2 х – 1 = у

 

-4(2х-1) +х+3(2х-1)=1

 

2

 

 

 

 

Решаем уравнение

 

        - 4(2х-1) + х + 3(2х-1)=1

 

2

 

х – 4 (2х-1) + х + 3 (2х - 1) = 1

х – 4 (4х – 4х + 1) + х +6х – 3 = 1

х – 16х + 16х - 4 + х + 6х – 3 – 1 = 0

-15х + 23х – 8 = 0; 15х – 23х + 8 = 0

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

        15 х - 23 х + 8 = 0

 

2

 

√D = √23 – 4 × 15 × 8 = √49 = 7

 

х = = 1

 

1

 

23 + 7

 

30

 

х   = = 1/15

 

2

 

23 - 7

 

30

 

 

 

 

После этого из уравнения у = 2х — 1 находим: 

 

у1 = 2 - 1

 

у2= 2 - 1

 

х

 

х 

 

•1      = 1

 

8/15 = 1/15

 

 

 

 

  Таким образом, данная система имеет две пары решений:

1) x1 = 1 ,   y1 = 1;        

2)  х2 = 8/15  ,  y2 =  1/15

 

Ответ: ( 1; 1) ;(8/15 ; 1/15)

 

 

 

 

Система двух уравнений,

 

из которых каждое 

 

второй степени.

Пример:

             x + y = а

              х у = b

 

2

 

2

 

 

 

 

 Если b = 0, то и х = 0  и  у = 0 . Поэтому мы можем, не нарушая равносильности уравнений, разделить обе части второго из них на х:

   

 

x² + ( b/x )² = a

у = b/x

 

 

 

x² + y² = а

х у = b         

 

<=>

 

 

 

 

Умножив обе части на x , получим равносильное уравнение:  

 

 

x + b = ax , т. е.    

x — ax + b = 0.

 

2

 

4

 

4

 

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

Подобным же образом  решается и система:

     

        x² — y² = а

xy = b.

 

 

 

 

Надо решить систему  уравнений:

 

 

 

 

I способ (графический)

 

Построим в одной координатной плоскости графики функций

                         

  

 

х ² + у ² = 25

х • у = 12

 

<=>

 

х ² + у ² = 25

у = 12 / х

 

 

 

 

Из рисунка видно, что значения корней следующие:

 

.

 

х ² + у ² = 25

 

у = 12 / х

 

у = 12 / х

 

(-4;-3)

 

(-3;-4)

 

(3;4)

 

(4;3)

 

 

 

 

II способ (аналитический)

 

 

Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:

 

<=>

 

× 2

 

 

 

 

Задача сводится к системе  линейных уравнений с двумя  неизвестными: 

 

   <=>

 

 

 

 

Применяя к полученным  системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых – вторые), получим:

 

Ответ: (4;3) ; (-3;-4) ; (3;4) ; (-4;-3)

 

 

 

 

Решить систему уравнений:

 

 

 

 

I способ (графический)

 

  Построим в одной координатной плоскости графики функций

                             и

 

(-3;2 )

 

 (-2 ;3)

 

(3;2 )

 

(2 ;-3 )

 

 

 

 

Ответ:

 

. 

 

(2;-3); (-2;-3); (3;2); (-3;2)