Планирование эксперемента

Различают три случая:

- функция отклика линейна

- функция отклика существенно не линейна

- информация о кривизне  отсутствует

Также необходимо знать, в каких диапазонах меняются значения параметра оптимизации в разных точках факторного пространства. Если имеются результаты некоторого множества опытов, то всегда можно найти наибольшее или наименьшее значение параметра оптимизации. Разность между этими значениями называется диапазоном изменения параметра оптимизации для данного множества опытов. Различают широкий и узкий диапазоны. Диапазон будет узким, если он несущественно отличается от разброса значений параметра оптимизации в повторных опытах. В противном случае диапазон                                                                                                                                                                             считается широким. Учитывается также случай, когда информация отсутствует. Итак, для принятия решений используется априорная информация о точности фиксирования факторов, кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра оптимизации. Каждое сочетание градаций перечисленных признаков определяет ситуации, в которой нужно принимать решение.

Выбрав основной уровень и интервалы варьирования строят план проведения эксперимента.

 

 

3 Дробная реплика

 

Дробный факторный эксперимент применяется для облегчения поиска коэффициентов математической модели.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, пользуются половиной полного факторного эксперимента 23, или «полурепликой». Если *3 приравнять к –*1*2, то получим вторую половину матрицы 23. В этом случае: b1→β1−β23; b2→β2−β13; b3→β3−β12. При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов взаимодействия.

Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 23.

Матрица из восьми опытов для четырех факторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 24, а для пятифакторного планирования – четверть – репликой от 25. В этом случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых pлинейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2k-p. Так полуреплика от 26 запишется в виде 26-1, а четверть реплика от 25 – в виде 25-2.

Условные обозначения дробных реплик и количество опытов приведины в таблице 3.1

 

Таблица 3.1

Число факторов	Дробная реплика	Условное обозначение	Число опытов
			Для дробной реплики	Для полного факторного эксперимента
3	1/2 - реплика от 23	23-1	4	8
4	1/2 - реплика от 24	24-1	8	16
5	1/4 - реплика от 25	25-2	8	32
6	1/8 - реплика от 26	26-3	8	64
7	1/16 - реплика от 27	27-4	8	128
5	1/2 - реплика от 25	25-1	16	32
6	1/4 - реплика от 26	26-2	16	64
7	1/8 - реплика от 27	27-3	16	128
8	1/16  - реплика от 28	28-4	16	256
9	1/32  - реплика от 29	29-5	16	512
10	1/64 - реплика от 210	210-6	16	1024
11	1/128  - реплика от 211	211-7	16	2048
12	1/256 - реплика от 212	212-8	16	4096
13	1/512  - реплика от 213	213-9	16	8192
14	1/1024  - реплика от 214	214-10	16	16384
15	1/2048  - реплика от 215	215-11	16	32768

 

 Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей. Целесообразность их применения возрастает с ростом количества факторов. В таблице 3.1 показано, что при исследовании влияния 15 факторов можно в 2048 раз сократить число опытов, применяя реплику большей дробности (16 опытов вместо 32768). Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Априорные сведения о взаимодействиях могут оказать большую услугу экспериментатору.

При построении дробных реплик используют следующее правило: для того чтобы сократить число опытов при введении в планирование нового фактора, нужно поместить этот фактор в вектор – столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Реплики, которые используются для сокращения опытов в 2m раз, где m=1,2,3, 4…, называются регуляторами.

При применении дробных реплик линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействия. Чтобы определить систему смешивания, нужно знать определяющие контрасты и генерирующие соотношения. Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения любых столбцов, равное 1.

Чтобы определить, какие взаимодействия смешаны с данным линейным эффектом, нужно умножить определяющий контраст на этот линейный эффект и получить генерирующие соотношения.

Эффективность реплики зависит от системы смешивания. Реплики, у которых линейные эффекты смешены с взаимодействиями наивысшего порядка, является наиболее эффективными, так как обладают наибольшей разрешающей способностью.

Для освобождения линейных эффектов от взаимодействий первого порядка можно использовать метод «перевала». Смысл метода в добавлении новой реплики, все знаки которой противоположны исходной реплике.

С ростом числа факторов быстро увеличивается число реплик различной дробности. Эти реплики характеризуются обобщающими определяющими контрастами, которые получаются перемножением по два, по три и т.д. исходных определяющих контрастов.

 

 

 

4 Регрессионный  анализ

 

Регрессионный анализ, как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах.

Первый постулат.

Параметр оптимизации y - есть случайная величина с нормальным знаком распределения. Дисперсия воспроизводимости – одна из характеристик закона распределения.

При наличии большого экспериментального материала (десятки параллельных опытов) гипотезу о нормальном распределении можно проверить стандартными тестами.

В том, что у величина случайная величина сомневаться не приходится.

При нарушении нормальности мы лишаемся возможности установления вероятностей, с которыми справедливы те или иные высказывания. Поэтому нужно очень внимательно относится к возможным нарушениям предпосылок.

Второй постулат.

Дисперсия у не зависит от абсолютной величины у.

Выполнимость этого постулата проверяется с помощью критериев однородности дисперсии в различных точках факторного пространства. Нарушение этого постулата недопустимо. Если однородность дисперсий все же отсутствует, то необходимо такое преобразование у, которое делает дисперсии однородными. Для этого пользуются логарифмическим преобразованием.

Третий постулат.

Значение факторов – неслучайные величины. Это означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка во производимости.

Нарушение этого постулата приводит к трудностям при реализации матрицы планирования.

 

 

Четвертый постулат.

Налагает ограничения на взаимосвязь между значениями факторов. Он выполняется автоматически в силу ортогональности матрицы планирования.

Если с постулатами все в порядке, то можно проверять статистические гипотезы.

 

 

5 Выводы

 

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При этом необходимо придерживаться следующих ограничений:

1. общее число опытов  должно быть по возможности  минимальным;

2. необходимо одновременно  изменять все переменные, определяющие (влияющие) процесс. Причем это изменение  должно происходить по определенным  правилам - алгоритмам;

3. при описании исследований  необходимо использовать математический  аппарат, формализующий действия  экспериментатора;

4. в процессе проведения  и планирования эксперимента  необходимо придерживаться четкой  стратегии, позволяющей принимать  обоснованные

решения после каждой серии экспериментов.

Задачей ≪Планирования эксперимента≫ является разработка рекомендаций или производственного процесса на основе исследования предварительных опытных данных для дальнейшей их реализации и построения математической модели исследуемого процесса с целью дальнейшего прогнозирования производства.

При планировании экстремального эксперимента важно определить параметр, который нужно оптимизировать.

Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной системы.

Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные преимущества. Но на практике чаще всего приходиться учитывать несколько выходных параметров.

Математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно.

Всегда полезно использовать возможность уменьшения числа выходных параметров. Для этого пользуются корреляционным анализом.

В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится обращаться к ранговому подходу. В ходе исследования могут манятся априорные представления об объекте исследования, что приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации.

Из многих параметров, характеризующих объект исследования, только один, часто обобщенный, может служить. Остальные рассматриваются как ограничения.

При выборе области эксперимента учитываются три типа ограничений

- первый тип – принципиальные  ограничения для значений факторов

- второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями

- третий тип – определяется конкретными условиями эксперимента

Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.

Проанализировав априорную информацию определяют локальную подобласть для планирования эксперимента. Выбор этой подобласти происходит в два этапа:

- выбор основного(нулевого) уровня -  это многомерная точка  в факторном пространстве, задаваемая  комбинацией уровней факторов.

- выбор интервалов варьирования  факторов. Для каждого фактора определяется два уровня, на которых он варьируется в эксперименте. Один из уровней – верхний, другой – нижний. Интервалом варьирование называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровень.

 Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней, называется полным факторным экспериментом. Условия эксперимента представляют в виде таблицы - матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов.

Коэффициенты, вычисленные по результатам эксперимента, указывают на силу влияния факторов. Эффект фактора численно равен удвоенному коэффициенту. В тех случаях, когда эффект, одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, говорят о наличии эффекта взаимодействия двух факторов. Для его количественной оценки получают столбец произведений этих факторов и обращаются с ним как с вектор-столбцом любого фактора. В полном факторном эксперименте разность между числом опытов и числом коэффициентов велика. Возникает проблема уменьшения числа опытов.