Методы теории игр

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка». Сюда же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие.

Часто понятие полной информации путают с похожим -- совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным числом шагов

Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.

Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами -- «выиграл» или «проиграл» -- ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр имеет важную роль в дескриптивной теории множеств.

Дискретные и непрерывные игры

Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т. п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно -- шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.

5 Метаигры

 

Это такие игры, результатом которых является набор правил для другой игры (называемой целевой или игрой-объектом). Цель метаигр -- увеличить полезность выдаваемого набора правил. Теория метаигр связана с теорией оптимальных механизмов (англ.).

Основные понятия теории игр

В задачах оптимизации решение выбиралось при предположении о том, что известны целевая функция, различные способы действия и ограничения. Рассмотрим задачи принятия решений в ситуациях с несколькими участниками, когда значение целевой функции для каждого из субъектов зависит и от решений, принимаемых всеми остальными участниками.

Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия.

Всякая претендующая на адекватность математическая модель социально-экономического явления должна отражать присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

1. множество заинтересованных сторон (игроков);
2. возможные действия каждой из сторон (стратегии или ходы);
3. интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией организует свое поведение.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его математическую модель, которую называют игрой.

Теория игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Монгерштерном в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Нейман и Монгерштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.

 

6 Классификация игр

 

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

Формальное представление игр

Дадим формальное описание перечисленных элементов конфликта. Множество всех игроков, обозначаемое I, в случае конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков. Например, I = {1, 2} при игре в орлянку, I = {Продавец, Покупатель} в ситуации монополия-монопсония, I = {1, 2, ..., n} в случае анализа результатов голосования в парламенте.

Множество стратегий игрока i обозначим через Xi. При игре в орлянку каждый игрок располагает двумя стратегиями: Xi = {Орел, Решка}; каждый участник голосования имеет выбор на множестве стратегий {За, Против}. В случае взаимодействия на рынке как Продавец, так и Покупатель могут назначать некоторую неотрицательную цену на продаваемый (покупаемый) товар, т.е. множество стратегий каждого из них Xi: Рi > 0.

В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию xi Xi , в результате чего складывается набор стратегий x = {x1, x2, ..., xn}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в Парламенте описывает список {За, За, Против, За, ...}, полученный в итоге проведенного голосования.

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается через hi(x), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока i называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока Нi.

В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы - стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. Данная форма представления конечных игр двух лиц объясняет общее для них название - матричные игры.

Например, в случае игры в орлянку каждый из игроков имеет по две стратегии, именуемые Орел и Решка. Если игроки выбирают одинаковые стратегии, т.е. в случаях, если оба говорят «Орел» или оба говорят «Решка», 1-й игрок выигрывает 1 рубль, а второй игрок проигрывает 1 рубль. В ситуациях, когда оба игрока выбирают различные стратегии, 1-й игрок проигрывает 1 рубль, а 2-й игрок соответственно этот 1 рубль выигрывает.

В итоге матрица выигрышей 1-го игрока Н1 выглядит следующим образом:

 

	Стратегии 2-го игрока
		Орел Решка
Стратегии 1-го игрока	Орел
	Решка

 

Соответственно матрица выигрышей 2-го игрока Н2 имеет вид:

 

	Стратегии 2-го игрока
		Орел Решка
Стратегии 1-го игрока	Орел
	Решка

 

Для антагонистических игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игр с нулевой суммой), выполняется соотношение Н1 = -Н2. Игра в орлянку, очевидно, является примером такой игры.

Часто для наглядности матрицы выигрышей для обоих игроков совмещают в одну, которая дает полное представление о всей игре:

 

	Стратегии 2-го игрока
		Орел Решка
Стратегии 1-го игрока	Орел
	Решка

 

В каждой клетке этой матрицы слева указаны значения выигрыша 1-го игрока, справа - значения выигрыша 2-го игрока.Рассмотрим пример задания матрицы выигрышей для игры с нулевой суммой, называемой в литературе по теории игр Дилемма Заключенного. Содержание игры следующее: два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника. В итоге можно получить следующую матрицу «выигрышей» для обоих игроков:

 

	Стратегии 2-го игрока
		Сознаться Не сознаться
Стратегии 1-го игрока	Сознаться
	Не сознаться

 

Приведем пример записи функции выигрыша для бесконечной игры. В случае дуополии каждый из игроков может объявить цену р, по которой он хотел бы продать некоторое количество товара. При этом предполагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределяет свой спрос поровну между фирмами в случае, если они назначили одинаковую цену. Если функцию спроса в зависимости от цены на товар обозначить как d(p), то функция выигрыша 1-й фирмы П1(р1, р2) будет иметь вид

 

{ р1d(p1), если p1 < p2,

П1(р1, р2) = {

если p1 = p2,

{ 0, если p1 > p2.

 

Аналогично выглядит функция выигрыша 2-й фирмы П2(р1, р2).

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

И. т., созданная для математического решения задач экономического и социального происхождения, не может в целом сводиться к классическим математическим теориям, созданным для решения физических и технических задач. Однако в различных конкретных вопросах И. т. широко используются весьма разнообразные классические математические методы. Кроме этого, И. т. связана с рядом математических дисциплин внутренним образом. В И. т. систематически и по существу употребляются понятия теории вероятностей. На языке И. т. можно сформулировать большинство задач математической статистики.

И. т. применяется в экономике, технике, военном деле и даже в антропологии. Основные трудности практического применения И. т. связаны с экономической и социальной природой моделируемых ею явлений и недостаточным умением составлять такие модели на количественном уровне.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб.пособие. - 2-е изд., испр. - М.: Дело, 2002.

Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство РДЛ. 2003.