Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

=4.3/5=0.86

( -y)=0.86-4.8=3.94

Вычисляем индекс корреляции по формуле

= =0,981

 

Индекс корреляции близок к единице, поэтому можно сделать вывод о довольно тесной связи между заданными величинами.

 

Пример для практической работы

По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.

Таблица 1.2

Расходы на продукты питания, , тыс. руб.	0,9	1,2	1,8	2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
Доходы семьи, , тыс. руб.	1,2	3,1	5,3	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

Предположим, что связь между признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры следующих нелинейных уравнений: , и .

Для нахождения параметров регрессии делаем замену и составляем вспомогательную таблицу ( ).

Таблица 1.5

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1,2	0,182	0,9	0,164	0,033	0,81	0,499	0,401	0,1610	44,58
2	3,1	1,131	1,2	1,358	1,280	1,44	1,508	-0,308	0,0947	25,64
3	5,3	1,668	1,8	3,002	2,781	3,24	2,078	-0,278	0,0772	15,43
4	7,4	2,001	2,2	4,403	4,006	4,84	2,433	-0,233	0,0541	10,57
5	9,6	2,262	2,6	5,881	5,116	6,76	2,709	-0,109	0,0119	4,20
6	11,8	2,468	2,9	7,157	6,092	8,41	2,929	-0,029	0,0008	0,99
7	14,5	2,674	3,3	8,825	7,151	10,89	3,148	0,152	0,0232	4,62
8	18,7	2,929	3,8	11,128	8,576	14,44	3,418	0,382	0,1459	10,05
Итого	71,6	15,315	18,7	41,918	35,035	50,83	18,720	-0,020	0,5688	116,08
Среднее значение	8,95	1,914	2,34	5,240	4,379	6,35	–	–	0,0711	14,51
	–	0,846	0,935	–	–	–	–	–	–	–
	–	0,716	0,874	–	–	–	–	–	–	–

Найдем уравнение регрессии:

,

.

Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: . Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле:

,

а индекс детерминации , который показывает, что 91,8% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 8,2% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: , что недопустимо велико.

-критерий Фишера:

,

значительно превышает табличное .

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 1.6.

Для нахождения параметров регрессии делаем замену и составляем вспомогательную таблицу ( ).

Таблица 1.6

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1,2	1,10	0,9	0,99	1,2	0,81	0,734	0,166	0,0276	18,46
2	3,1	1,76	1,2	2,11	3,1	1,44	1,353	-0,153	0,0235	12,77
3	5,3	2,30	1,8	4,14	5,3	3,24	1,857	-0,057	0,0033	3,19
4	7,4	2,72	2,2	5,98	7,4	4,84	2,247	-0,047	0,0022	2,12
5	9,6	3,10	2,6	8,06	9,6	6,76	2,599	0,001	0,0000	0,05
6	11,8	3,44	2,9	9,96	11,8	8,41	2,912	-0,012	0,0001	0,42
7	14,5	3,81	3,3	12,57	14,5	10,89	3,259	0,041	0,0017	1,20
8	18,7	4,32	3,8	16,43	18,7	14,44	3,740	0,060	0,0036	1,58
Итого	71,6	22,54	18,7	60,24	71,6	50,83	18,700	-0,001	0,0619	39,82
Среднее значение	8,95	2,82	2,34	7,53	8,95	6,35	–	–	0,0077	4,98
	–	1,00	0,935	–	–	–	–	–	–	–
	–	1,00	0,874	–	–	–	–	–	–	–

Найдем уравнение регрессии:

,

.

Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: . Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле (1.21):

,

а индекс детерминации , который показывает, что 99,1% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 0,9% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

-критерий Фишера:

,

значительно превышает табличное .

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 1.7

Для нахождения параметров регрессии необходимо провести ее линеаризацию, как было показано выше:

,

где .

Составляем вспомогательную таблицу для преобразованных данных:

Таблица 1.7

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,182	-0,105	-0,019	0,033	0,011	0,8149	0,0851	0,0072	9,46
2	1,131	0,182	0,206	1,280	0,033	1,3747	-0,1747	0,0305	14,56
3	1,668	0,588	0,980	2,781	0,345	1,8473	-0,0473	0,0022	2,63
4	2,001	0,788	1,578	4,006	0,622	2,2203	-0,0203	0,0004	0,92
5	2,262	0,956	2,161	5,116	0,913	2,5627	0,0373	0,0014	1,43
6	2,468	1,065	2,628	6,092	1,134	2,8713	0,0287	0,0008	0,99
7	2,674	1,194	3,193	7,151	1,425	3,2165	0,0835	0,0070	2,53
8	2,929	1,335	3,910	8,576	1,782	3,7004	0,0996	0,0099	2,62
Итого	15,315	6,002	14,637	35,035	6,266	18,608	0,0919	0,0595	35,14
Среднее значение	1,914	0,750	1,830	4,379	0,783	–	–	0,0074	4,39
	0,846	0,470	–	–	–	–	–	–	–
	0,716	0,221	–	–	–	–	–	–	–

Найдем уравнение регрессии:

,

.

Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: . После потенцирования находим искомое уравнение регрессии:

.

Теперь заполняем столбцы 7-10 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле (1.21):

,

а индекс детерминации , который показывает, что 96,7% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 3,3% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

-критерий Фишера:

,

значительно превышает табличное .

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 1.8.

Сравним построенные модели по индексу детерминации и средней ошибке аппроксимации:

 

Таблица 1.8

Модель	Индекс детерминации, ( , )	Средняя ошибка аппроксимации, , %
Линейная модель,	0,987	6,52
Полулогарифмическая модель,	0,918	14,51
Модель с квадратным корнем,	0,991	4,98
Степенная модель,	0,967	4,39

Наиболее хорошо исходные данные аппроксимирует модель с квадратным корнем. Но в данном случае, так как индексы детерминации линейной модели и модели с квадратным корнем отличаются всего на 0,004, то вполне можно обойтись более простой линейной функцией.