Аннуитет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Особое значение для  становления рыночной экономики  в России имеет развитие таких  процессов, как самофинансирование в его комплексном понимании , а также наращивание функционирующего капитала ,прежде всего в первичном производственном звене – на предприятии ,в корпорациях и фирмах .Эти процессы опосредуются денежно - финансовыми механизмами – кредитными ,налоговыми, бюджетными и т.д.

В большинстве современных  коммерческих операций подразумеваются  не разовые платежи , а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течении определенного периода. Эта может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплат задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток одновременных  платежей с равными интервалами  между последовательными платежами  в течении определенного количества лет называется аннуитетом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, регулярные или нерегулярные взносы, создания разного рода фондов и т.д. Такая последовательность называется потоком платежей. 

   Аннуитет (или финансовая рента) – поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет. 

   Теория аннуитетов применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т.д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам, выплаты по регрессным искам. 

   Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

• величиной каждого отдельного платежа;
• интервалом времени между последовательными платежами (периодом аннуитета);
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени – вечные аннуитеты);
• процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.

 

    Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – самый распространенный случай.

Наибольший интерес  с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью.

Классификация аннуитетов:

I. По природе плательщика:

1. Страховые (Выплачиваемые  страховыми компаниями);

2. Пенсионные (Выплачиваемые пенсионными фондами);

3. Финансовые (платятся  банками и другими финансовыми  организациями);

4. Выплачиваемые другими  юридическими лицами;

5. Выплачиваемые частными  лицами (обычно погашение кредитов  и оплата покупок в рассрочку).

Разумеется, эта классификация весьма условна, так как, например, страховая компания может выплачивать аннуитет не связанный с ее страховой деятельностью.

II. По признаку срочности:

1. Срочные аннуитеты,  т.е. фиксированное число платежей;

2. Срочные аннуитеты  с возможностью досрочного прекращения. (Например, кредиты с возможностью досрочного погашения);

3. Бессрочные аннуитеты  (пенсии, выплачиваемые до смерти  пенсионера);

4. В особую группу  нужно выделить аннуитеты у  которых не только количество  платежей не является фиксированным, но и время начала осуществления платежей.

III. По частоте платежей;

1. Ежегодные;

2. Ежемесячные;

3. Ежеквартальные.

Первоначальной формой аннуитетов были ежегодные, а в настоящее  время наиболее распространены ежемесячные.

IV. По величине платежей  и подверженности инфляции:

1. Фиксированные аннуитеты,  т.е. все платежи одинаковы;

2. Валютные аннуитеты,  в которых для защиты от  инфляции выплаты привязаны к  одной иностранной валюте или  корзине валют;

3. Индексируемые, т.е.  величина платежей привязывается к индексу инфляции;

4. Переменные, для которых  величина выплат привязывается  индексу доходности финансовых  инструментов.

 

Под срочным аннуитетом понимается денежный поток с поступлениями в течение ограниченного времени (срочный денежный поток) с равными по величине поступлениями денежных средств через равные промежутки времени. По моменту поступления денежных средств различают срочные аннуитеты пренумерандо и постнумерандо.

Срочный аннуитет постнумерандо можно  рассчитать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета  постнумерандо по схеме наращения  имеет следующий вид:

FV_pst = PV (1 + r)^n-1 + PV (1 + r)^{n - 2} + ... + PV (1 + r) + PV

Срочный аннуитет пренумерандо можно рассчитать как по схеме  наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета  пренумерандо по схеме наращения  имеет следующий вид:

FV_pre=FV_pst(l+ r) = PV [(1 +r)ⁿ- 1] (1 + r)/r.

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PV_pre = PV_pst(l + r) = FV [1 - (1+r)^-n ] (1 + r) / r.

Под бессрочным аннуитетом (вечная рента) понимается денежный поток с равными по величине поступлениями денежных средств в течение длительного срока через равные интервалы времени. Примером бессрочного аннуитета являются консоли (консолидированная рента) — долгосрочные государственные облигации со сроком обращения, превышающим 30 лет.

В случае бессрочного  аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение длительного периода времени рассматривается как бесконечный. При этом подразумевается, что в рамках выбранного интервала осуществляется только один платеж. В этой связи бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечность (n -> ∞) или как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Бессрочный аннуитет (как разновидность денежного  потока) можно классифицировать по моменту поступлений в выбранном  интервале времени на потоки пренумерандо и постнумерандо. Однако, в отличие от других денежных потоков, которые можно рассчитывать как по схеме наращения, так и дисконтирования, оценка бессрочного аннуитета способом наращения не имеет смысла, так как поток стремится к бесконечности и нельзя определить п. Поэтому единственным способом остается обратный способ (способ дисконтирования).

При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного  аннуитета постнумерандо, а затем  с его помощью приведенная  стоимость бессрочного аннуитета  пренумерандо. Классификация способов оценки бессрочных аннуитетов приведена в таблице.

Способы оценки бессрочных аннуитетов

По моменту поступления денежных средств в выбранном временном интервале	Оценка бессрочного аннуитета
	по схеме наращения	по схеме дисконтирования
1) потоки с поступлениями  в начале выбранного интервала  времени — пренумерандо;	Не имеет решения	Бессрочный аннуитет пренумерандо
2) потоки с поступлениями  в конце выбранного интервала  времени — постнумерандо.	Не имеет решения	Бессрочный аннуитет постнумерандо

 

 

Формула оценки бессрочного  аннуитета постнумерандо по схеме  дисконтирования имеет следующий  вид:

PV_pst=A/r,

где А — одно денежное поступление за выбранный временной  интервал.

Данная формула показывает, что приведенную стоимость можно рассчитать даже для денежного потока с неограниченным количеством платежей. Так, при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, и процентной ставке, равной 10%, разница между значениями коэффициентов дисконтирования незначительная. Чем выше значение процентной ставки, тем меньше срок, при превышении которого разница между значениями коэффициента дисконтирования становится несущественной.

Формула оценки бессрочного  аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PV_pre = PV_prs + A

где PV_pre — поток пренумерандо;

PV_pre — поток постнумерандо;

А     — величина первого платежа.

Как следует из данной формулы, приведенная стоимость  бессрочного аннуитета пренумерандо превышает приведенную стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для банков выгоднее применять аннуитетные платежи, поскольку в этом случае они получают больше прибыли по процентам. Заемщикам же аннуитетные платежи выгоднее в том плане, что удобнее каждый месяц платить одну и ту же сумму, чем каждый раз разную и уточнять, сколько же ему надо внести в следующий месяц.

Формула аннуитетного платежа

В соответствии с формулой аннуитетного платежа размер периодических (ежемесячных) выплат будет составлять:

A = K · S

где А - ежемесячный аннуитетный платёж, 
К - коэффициент аннуитета, 
S - сумма кредита.

Коэффициент аннуитета рассчитывается по следующей формуле:

где i - месячная процентная ставка по кредиту (= годовая ставка / 12), 
n - количество периодов, в течение которых выплачивается кредит.

Поскольку периодичность  платежей по кредиту - ежемесячно, то ставка по кредиту (i) берётся месячная. Если процентная ставка 12% годовых, то месячная ставка: 
i = 12% / 12 мес = 1%.

С помощью приведённой  выше формулы аннуитетного платежа  вы можете узнать ежемесячную сумму, которую нужно платить, чтобы  погасить кредит.

Расчет аннуитетного платежа

Приведём пример расчета  аннуитетного платежа. 
Допустим, вы взяли в банке кредит на сумму 30 000 рублей под 18% годовых сроком на 3 года.

Исходные данные: 
S = 30 000 рублей 
i = 1,5% (18% / 12 мес) = 0,015 
n = 36 (3 года х 12 мес)

Подставляем эти значения в формулу  и определяем коэффициент аннуитета:

К = 0,015*(1+0,015)36 / ((1+0,015)36 - 1) = 0,03615

Размер ежемесячных выплат:

A = K*S = 0,03615 * 30000 = 1084,57 рублей.

Будущая стоимость аннуитетных платежей

Будущая стоимость аннуитетных  платежей предполагает, что платежи  осуществляются на приносящий проценты вклад. Поэтому будущая стоимость аннуитетных платежей является функцией как величины аннуитетных платежей, так и ставки процента по вкладу.

Будущая стоимость серии аннуитетных  платежей (FV) вычисляется по формуле (предполагается сложный процент)

,

где r — ставка процента, n — количество периодов, в которые осуществляются аннуитетные платежи, X — величина аннуитетного платежа.