Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам

7. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам

 

Оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются  для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей  является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении.

Очевидно, что  рассмотренные два метода наращения  и дисконтирования – по ставке наращения i и учетной ставке d – приводят к разным результатам даже тогда, когда i = d.

Ставки	Прямая  задача	Обратная  задача
i	S = Р (1 + ni)	P =
d	Р = S(1 – nd)	S =

 

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается  при увеличении величины ставки. Для иллюстрации сказанного на рис. 5 и в табл. приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда i = d = 20%.

Сравнивая формулы (2.1) и (2. 13), легко понять, что учетная  ставка дает более быстрый рост суммы  задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что i = d = 20%, показаны на рис. 2.6 и в табл. 2.2.

Из сказанного выше следует, что выбор конкретного  вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называются эквивалентными.

 

8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

 

При разработке условий контрактов или их анализе и сравнении возникает необходимость в решении ряда, если так можно назвать, вторичных задач – определении срока ссуды и размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.

Срок  ссуды. Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях формулы получим, выразив n из соответствующих формул:

Срок в годах:

S = Р (1 + ni) => n =

Р = S(1 – nd) => n =

Срок в днях (n = t/K, где К – временная база):

t = K

t = K

Величина процентной ставки. Необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении финансовой эффективности операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Выразим i или d из искомых формул для сроков, измеренных в годах и днях:

i =

d =

Иногда размер дисконта фиксируется  в договоре в виде процента скидки (общей учетной ставки) dʹ за весь срок ссуды. В этом случае:

P = S(1 – dʹ)

 

Имея в виду, что Р =  S / (1 – ni), находим:

i =

Годовая учетная  ставка находится: d = dʹ / n

 

 

 

 

9. Конверсия валюты и наращение процентов

 

Конверсия − это операция обмена одних денежных единиц на другие.

При возможности  обмена рублевых средств на свободно конвертируемую валюту (далее – СКВ) и обратной конверсии целесообразно сравнить доходы от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты и опосредованно через другую валюту. Сказанное относится и к получению дохода от СКВ при ее обмене на рубли, депонировании и обратной конверсии.

Возможны четыре варианта для наращения процентов  с конверсией денежных ресурсов и  без нее:

1. без конверсии в СКВ: СКВ => СКВ
2. с предварительной конверсией СКВ в рубли: СКВ => Руб => Руб => СКВ
3. без конверсии в рублях: Руб => Руб
4. с предварительной конверсией рублей в СКВ: Руб => СКВ => СКВ => Руб

Варианты с  конверсией показаны на рис. 7.

Примем обозначения:

j – ставка простых процентов по валютным депозитам (для конкретного вида СКВ)

i – ставка простых процентов по рублевым депозитам;

Рv – начальная сумма депозита в СКВ;

Pr – начальная сумма депозита в рублях;

Sv – наращенная сумма в СКВ;

Sr – наращенная сумма в рублях;

K₀ – курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях);

K₁ – курс обмена в конце операции;

n – срок депозита.

Курс обмена – это стоимость единицы СКВ в рублях на заданный момент времени.

При  наращении  без конверсии (варианты а,в) источником дохода является только процентная ставка. Наращенную сумму можно легко  рассчитать по известным формулам для  простой процентной ставки:

Sr = Pr (1 + n × i)

Sv = Рv (1 + n × j)

В операции наращения  с конверсией валют существует два  источника дохода: процентная ставка – безусловный фактор, изменение  курса СКВ – условный фактор. Рассмотрим совместное влияние этих факторов на результат такой финансовой операции.

Схема варианта б: СКВ => K₀ => Руб => i => Руб => K₁ =>СКВ.

Из схемы  видно, что 

1-й  шаг – обмен СКВ на рубли. Рассчитаем сумму в рублях по формуле:

Pr = K₀ × Рv

2-й  шаг – наращение процентов по ставке i, по известной формуле:

Sr = Pr (1 + n × i) = K₀Рv (1+ ni)

3-й  шаг – конвертирование наращенной суммы в рублях в исходную валюту. Итоговую сумму в СКВ рассчитаем по формуле:

Sv = Sr / K₁ =

Sv = Рv ×   (1+ ni)

В этой формуле  коэффициент при Рv является множителем наращения при наличной конверсии.

Введем величину, характеризующую отношение курса  СКВ в конце операции К₁ к курсу СКВ в начале операции K₀ через k, т.е.

k = К₁ / K₀

С увеличением k эффективность операции падает при k=1.

Тогда формула  примет вид:

Взаимодействие  двух факторов роста исходной суммы  в этой формуле представлено наиболее наглядно. С ростом ставки множитель  наращения линейно увеличивается, в свою очередь, рост конечного курса  обмена уменьшает его.

Ставка, при которой множитель  наращения без конверсии равен множителю наращения с конверсией называется эквивалентной.

Найдем эквивалентную  ставку в рассматриваемой операции. Для этого приравняем множители  наращения для операций без конверсии  и с конверсией

1 + n × j =

и найдем из полученного уравнения j

j =

Ставка  j оценивает доходность операции в целом, т.е. показывает, какую ставку необходимо назначить по депозитам в СКВ, чтобы доход был таким же, как с конверсией.

ПРИМЕР 3. Предполагается поместить 1000 долл. на рублевом депозите. Курс продажи на начало срока депозита 26,08 руб. за $1, курс покупки доллара в конце операции 26,45 руб. Процентные ставки: i = 22%;  j = 15% (360/360). Срок депозита – 3 месяца. Определить наращенную сумму.

Решение.

Наращенная  сумма в СКВ к концу срока составит:

Sv = Рv ×   (1+ ni)

Sv = 1000 ×  (1 + × 0,22) = 1040,2 $

В свою очередь, прямое наращение исходной долларовой суммы по долларовой ставке процента дает

Sv = 1000 (1 + 0,25 × 0,15) = 1037,5 $

Схема варианта г: Руб  => K₀ => СКВ => j => СКВ => K₁ =>Руб.

Из схемы  видно, что 

1-й  шаг – обмен рублей на СКВ. Рассчитаем сумму в СКВ по формуле:

Рv =

2-й  шаг – наращение процентов по ставке j, по известной формуле:

Sv = Рv (1 + n × j) = (1 + n × j)

3-й  шаг – конвертирование наращенной в СКВ суммы в рубли. Итоговую сумму в рублях рассчитаем по формуле:

Sr = K₁ × Sv = = Pr k (1 + n × j)

Найдем эквивалентную  ставку в рассматриваемой операции. Для этого приравняем множители наращения для операций без конверсии и с конверсией, откуда получим значение эквивалентной ставкия:

1 + ni = k(1+nj)

i =

 

ПРИМЕР 4. Допустим, необходимо поместить на валютном депозите сумму в рублях (1 млн). Курс продажи на начало срока депозита 26,08 руб. за $1, курс покупки доллара в конце операции 26,45 руб. Процентные ставки: i = 22%;  j = 15% (360/360). Срок депозита – 3 месяца. Определить наращенную сумму.

Решение.

Наращенная  сумма в рублях к концу срока  составит:

Sr = Pr k (1 + n × j)

Sr = 1000 × (1+0,25×0,15) = 1052,2 тыс. руб.

Прямое инвестирование в  рублевый депозит дает больше:

Sr = 1000 × (1+0,25×0,22) = 1055 тыс. руб.