Статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Статистика

 

 

 

 

Задача 14.

По группе предприятий  за отчетный год имеются следующие  данные:

№ предприятия	Годовая производительность труда работника, тыс. руб.	Вооруженность труда основным капиталом, тыс. руб./чел.	Удельный вес оборудования в стоимости основного капитала	Текучесть кадров, %	Интегральный показатель использования рабочего времени
1	360	15.2	0.39	9.1	0.96
2	298	12.8	0.29	10.1	0.80
3	328	13.8	0.34	5.0	0.84
4	330	14.0	0.36	7.0	0.86
5	366	16.3	0.47	9.0	0.98
6	316	12.6	0.26	4.0	0.83
7	334	13.2	0.32	12.0	0.87
8	300	12.9	0.29	6.5	0.84
9	314	13.1	0.33	8.0	0.81
10	320	12.5	0.28	7.0	0.85
11	362	15.7	0.40	8.5	0.97
12	332	13.5	0.34	5.0	0.83

На основании приведенных  данных требуется: составить уравнение  множественной зависимости производительности труда, обосновав систему факторов, включенных в модель.

 

Решение:

Зависимость одного фактора  от других выражается уравнением множественной  регрессии.

Факторы включенные в модель должны иметь близкую и сильную связь с результативным признаком, и минимальную связь между собой, поэтому мы выбираем вооруженность труда и интегральный показатель.

Результативные признаки обозначаются через Y, факторные через X. Поэтому в общем виде взаимосвязь между результатом и факторами можно записать формулой:

f_y =(x₁ ,x₂ …)

следовательно Y является функцией от всех X.

Если на результат оказывает  влияние первый фактор, то в этом случае изучается корреляция и регрессия, которые носят название парных; если на результат оказывает влияние несколько факторов, то изучается множественная корреляция и множественная регрессия.

Изучим зависимость производительности труда от вооруженности труда  основным капиталом и интегрального показателя использования рабочего времени:

№ предприятия	yi	хi 1	хi 2
1	360	15.2	0.96
2	298	12.8	0.80
3	328	13.8	0.84
4	330	14.0	0.86
5	366	16.3	0.98
6	316	12.6	0.83
7	334	13.2	0.87
8	300	12.9	0.84
9	314	13.1	0.81
10	320	12.5	0.85
11	362	15.7	0.97
12	332	13.5	0.83

 

Матричная форма записи ЛММР:

Y^ = X* A^ , где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;

х_{i 1} , х_{i 2}  – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;

Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5   

Исходные данные представляют в  виде матриц.

( 1  15.2  0.96 )       (360) 

( 1 12.8  0.80)        (298) 

X = ( 1 13.8  0.84)    Y = (328)

( 1 14.0  0.86)       (330)

(1 16.3   0.98)       (366)

(1  12.6   0.83)        (316)

1. 13.2  0.87)  (334)

(1   12.9  0.84)   (300)

(1   13.1  0.81)   (314)

(1   12.5  0.85)   (320)

(1   15.7  0.97)   (362)

(1   13.5  0.83)   (332)

Значение параметров А^ = (а₀, а₁, а ₂ ) ^T и s² – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.

Для нахождения параметров A^{^} применим формулу:

A^{^} = (X^T * X ) ^–1 * X^T ,

где (X^T * X ) ^–1 - обратная матрица.

Решение.

а) Найдем транспонированную  матрицу Х^Т :

( 1    1    1    1   1   1  1  1  1  1  1  1 )

 X^T = ( 15.2  12.8  13.8   14.0  16.3  12.6  13.2   12.9  13.1  12.5  15.7  13.5 )

       (0.96  0.80  0.84  0.86  0.98  0.83  0.87  0.84  0.81  0.85  0.97  0.83).

 в)  Находим произведение  матриц X^T *X :

( 12    165.6   10.44)

X^T * X =  (165.6  176.04  145.25 )

(10.44  145.25  177.6).

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

(3960)

X^T * Y =  (4125.6)

(3970.44).

д)  Вычисляем обратную матрицу ( X^T * X) ^–1 :

(  -12   - 165.6  -10.44  )

( X^T * X) ^–1 = (  -165.6   -176.04  -145,25 )

( - 10.44    -145.25   -177.6).

е) Умножаем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 на произведение

матриц  X^T * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁, a ₂)^T :

( 3948 )

A^ = (X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) = ( 3794.4 )

(3960)

Уравнение множественной  регрессии имеет следующий вид:

y_i^{^} = 3948 – 3794.4 * x_i1 +3960 * x_i2

 

 

Задача 15.

На основании исходных данных задачи 14:

1. Определить совокупный коэффициент корреляции и частные коэффициенты корреляции.
2. Сопоставить роль различных факторов в формировании моделируемого показателя.

 

Решение:

Составим таблицу  для расчетов

Предприятия	Годовая производительность труда работника	Середина интервала, х	x*f
1	360	15.2	5472	1.3	1.69	608.4
2	298	12.8	3814.4	- 1.1	1.21	360.6
3	328	13.8	4526.4	- 0.1	0.01	3.28
4	330	14	4620	0.1	0.01	3.30
5	366	16.3	5965.8	2.4	5.76	2108.2
6	316	12.6	3981.6	- 1.3	1.69	534
7	334	13.2	4408.8	- 0.7	0.49	163.7
8	300	12.9	3870	-1	1	300
9	314	13.1	4113.4	-0.8	0.64	201
10	320	12.5	4000	-1.4	1.96	627.2
11	362	15.7	5683.4	1.8	3.24	1172.9
12	332	13.5	4482	-0.4	0.16	53.12
Итого	3960	165.6	54937.8	-1.2	17.86	6135.7

 

= 54937.8/3960 = 13.9

1. Коэффициенты корреляции:

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул:

Сначала найдем дисперсию: 

= 17.86/12 = 1.5

б = корень из D

= 1.2

.      

а также

 или        . 

= 12*4408.8 – 165.6*3960/(12*2303.03 – 27423.4)*(12*1312520 – 15681600) = 157.8

= -1.2/17.86 = - 0.07

Множественный коэффициент  корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

_{= 24900+0.0049 + 22/ 0.99 = 159}

где   – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент  корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. В случае зависимости у от двух факторных признаков частные коэффициенты корреляции рассчитываются:

           ;          ,

= 157.8 – 157.8*-0.07/ 1-24900*1-0.0049 = 1

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено  влияние факторного признака х₂, во втором – х_1.

Для оценки сравнительной  силы влияния факторов, по каждому  фактору рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

, 

= 13.9/330 = 0.04

где   – среднее значение соответствующего факторного признака;

 – среднее значение результативного  признака;

 – коэффициент регрессии  при  i-м факторном признаке.

Данный коэффициент показывает, на сколько процентов следует  ожидать изменения результативного  показателя при изменении фактора  на 1% и неизменном значении других факторов.