Задачи по "Бухгалтерскому учету"

Задача 1.

Предприятие выпускает два вида изделий, используя  для этого сырьё трёх видов. Норма расхода сырья на изготовление единицы каждого вида изделий, а также запасы сырья и прибыли от реализации изделий каждого вида даны в таблице:

 

Сырьё	Норма расхода сырья  на единицу изделия (кг)		Запасы сырья (кг)
	1	2
1 2 3	4 2 5	5 4 0	200 120 150
Прибыль от реализации единицы изделия  в у.е.	2	3

 

Составить план выпуска изделий, дающий наибольшую прибыль. Составить математическую модель задачи, решить её графически, составить двойственную задачу, решить её и провести экономический анализ задачи.

 

Решение.

Составим  математическую модель задачи.

Обозначим:

 − количество изделий 1-го вида, запланированных к выпуску;

 − количество изделий 2-го вида, запланированных к выпуску.

Запишем систему  ограничений данной задачи, используя данные таблицы по нормам расхода и запасам сырья:

 

В качестве целевой функции используем прибыль, полученную от реализации всех запланированных  к выпуску изделий, которую нужно  максимизировать:

.

 

Задачу решим  графическим способом.

Область допустимых решений задачи - пересечение полуплоскостей, определенных каждым неравенством системы ограничений. Каждое неравенство заменяем уравнением:

Найдём точки  пересечения каждой прямой с осями  координат и определим для каждой прямой полуплоскость, являющуюся решением соответствующего неравенства.

.

;

;

.

;

;

.

;

Строим эти  прямые по паре найденных точек и  определяем область допустимых решений.

            

 

 

Четырёхугольник – область допустимых решений.

По теореме об экстремуме целевой функции, если оптимальное решение существует, то оно совпадает с угловой точкой области допустимых решений. Для нахождения оптимального решения строим вектор-градиент

,

Перпендикулярно вектору проводим линию нулевого уровня F₀, которую перемещаем по направлению вектора  , т.к. задача решается на max. Последняя точка пересечения линии уровня и области допустимых решений является оптимальным решением задачи.

F₀:

F₀:

 

 

 

 в точке B, является точкой выхода линии F₀ из ОДР и лежит на пересечении II и III граничных прямых. Координаты найденной точки определим как пересечение прямых с помощью системы уравнения, подставляя в целевую функцию и найдем оптимальное решение.

 

 

, ;

 

Таким образом,

 

Оптимальное решение:

           , .

 

Составим  задачу, двойственную к исходной:

 

 

.

Исходя из теорем двойственности, найдем решение двойственной задачи. 

,  т.е. >0, поэтому соответствующие им 2 и 3 ограничения двойственной задачи выполняются как равенства. Второе и третье ограничения исходной задачи выполняются как строка равенства и соответствующие им у₂ и у₃  положительны, а у₁ =0.

Получили:

      ,   

Оптимальное решение двойственной задачи: 

 

 

Проведём  экономический анализ задачи:

оптимальное решение исходной задачи говорит о том, что максимальную прибыль в размере 105 ед. предприятие получит при выпуске 30 ед. изделий первого вида и 15 ед. изделий 2-го вида. Оптимальное решение двойственной задачи говорит о том, что сырье 2 и 3 видов будет расходоваться полностью и каждая дополнительная привлеченная единица сырья 2 вида принесет дополнительно ¾ ед.прибыли, а третьего вида 1/10 ед. прибыли. Сырье первого вида не используется полностью и предприятие могло бы не покупать 200 – (4·30 + 5·15) = 5 ед. сырья.

 

 

Задача 2.

Дана матрица  коэффициентов прямых материальных затрат

и вектор конечного  продукта

.

Определить  валовое производство , обеспечивающее заданный конечный продукт, и матрицу полных затрат.

 

 

Решение.

Найдём матрицу  полных затрат :

,

где – единичная матрица.

Матрица :

 −  = ;

определитель матрицы :

= (0,7·0,9·0,9 + (-0,2)·(-0,3)·(-0,3) + (-0,1)·(-0,3)·       (-0,2)) – ((-0,2)·0,9·(-0,3) + (-0,1)·(-0,2)·0,9 + (-0,3)·(-0,3)·0,7 = (0,567 – 0,018 – 0,006) – (0,054+0,018+0,063) = 0,543 – 0,135 = 0,408

 

алгебраические  дополнения элементов матрицы :

;

;

;

;

;

;

;

;

;

матрица полных затрат:

= .

 

Найдём валовое  производство :

∙ = = .

 

Список литературы:

• Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. Учебник. - СПб.: Лань, 2000.
• Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: «Прогресс», 1975. (Ридер).
• Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. М.: Изд-во МГУ, 1997.
• Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001.
• Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.
• Иванов Ю. Н., Токарев В. В.,Уздемир А. П. Математическое описание элементов экономики. М.: «Физматлит», 1994.
• Карманов В. Г. , Федоров В. В. Моделирование в исследовании операций. М.: «Твема», 1996.
• Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.
• Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. - М.: Высшая школа, 1998.
• Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных ситуациях. Учебник. М.: МО СССР, 1982.
• Томас Ричард. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. - М.: Дело и Сервис, 1999.
• Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: Аудит ЮНИТИ, 1997.
• Математические методы принятия решений в экономике. Под ред. В.А. Колемаева. М.: «Финстатинформ», 1999.
• Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: «Инфраэм», 2000.
• Хазанова Л.Э., Математические методы в экономике. Учебное пособие. М.: изд. «ВЕК»,2001.