Метот Крамера

Метод Крамера.

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

 

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

 

 

Теорема. (Правило Крамера):

 

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

 

xi = Di/D, где

D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Di =

 

Пример.

 

A = ;   D1= ;  D2= ;   D3= ;

 

x1 = D1/detA;       x2 = D2/detA;        x3 = D3/detA;

 

Пример.   Найти решение системы уравнений:

 

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 =

= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 

x1 = D1/D = 1;

D2 =

= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 

x2 = D2/D = 2;

D3 =

= 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 = D3/D = 3.

 

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

 

Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

 

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

 

 

Для самостоятельного решения:

 

;             Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

 

 

Решение произвольных систем линейных уравнений.

 

 

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

 

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

                                                    ,                                    (1)

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

 

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

 

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

 

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица

 

А = называется матрицей системы, а матрица

 

А*= называется расширенной матрицей системы

 

 

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.