Контрольная работа по «Теория игр»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

 

 

                                          КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория игр»

 

 

 

 

 
 

                                                         Выполнил студент: 2 курса дистанционного обучения

Направление: 080100   «Экономика»

Шифр:     13-195    

Ф.И.О. Волошина Ольга Викторовна

Проверил:   

                                    

                                                 

 

Воронеж 2014

 

Задание №1.

Найдите нижнюю цену игры, верхнюю цену игры, определите седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют):

 

Решение:

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков. 
Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока. 
Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.

Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

1. Проверяем, имеет ли  платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. 
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	a = min(Ai)
A1	10	0	0
A2	0	6	0
A3	5	1	1
b = max(Bi)	10	6

 
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 1 ≤ y ≤ 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную  матрицу на доминирующие строки  и доминирующие столбцы.

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M  aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Запишем систему уравнений.

Для игрока I

10p1+5p3 = y

6p2+p3 = y

p1+p2+p3 = 1

Для игрока II

10q1 = y

6q2 = y

5q1+q2 = y

q1+q2 = 1

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции F(x) при ограничениях:

10x1+5x3 ≥ 1

6x2+x3 ≥ 1

F(x) = x1+x2+x3 → min

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

10y1 ≤ 1

6y2 ≤ 1

5y1+y2 ≤ 1

Ф(y) = y1+y2 → max

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 1/10

x2 = 1/6

F(X) = 1*1/10 + 1*1/6 = 4/15

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y1 = 1/10

y2 = 1/6

y3 = 0

Z(Y) = 1*1/10+1*1/6+1*0 = 4/15

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

qi = g*yi; pi = g*xi.

Цена игры: g = 1 : 4/15 = 33/4

p1 = 33/4 * 1/10 = 3/8

p2 = 33/4 * 1/6 = 5/8

p3 = 33/4 * 0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = (3/8; 5/8; 0)

q1 = 33/4 * 1/10 = 3/8

q2 = 33/4 * 1/6 = 5/8

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q = (3/8; 5/8)

Цена игры: v=33/4

4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

∑aijqj ≤ v

∑aijpi ≥ v

M(P1;Q) = (10*3/8) + (0*5/8) = 3.75 = v

M(P2;Q) = (0*3/8) + (6*5/8) = 3.75 = v

M(P3;Q) = (5*3/8) + (1*5/8) = 2.5 ≤ v

M(P;Q1) = (10*3/8) + (0*5/8) + (5*0) = 3.75 = v

M(P;Q2) = (0*3/8) + (6*5/8) + (1*0) = 3.75 = v

Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.

 

Задание №2.

Решить игровые задачи:

 

 

Решение:

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.

Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.

Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.

Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

1. Проверяем, имеет ли  платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

 

Игроки	B1	B2	a = min(Ai)
A1	1	4	1
A2	3	-2	-2
b = max(Bi)	3	4

 

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 1 ≤ y ≤ 3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры  в смешанных стратегиях.

Запишем систему уравнений.

Для игрока I

p1+3p2 = y

4p1-2p2 = y

p1+p2 = 1

Для игрока II

q1+4q2 = y

3q1-2q2 = y

q1+q2 = 1

Решая эти системы методом Гаусса, находим:

y = 13/4

p1 = 5/8 (вероятность применения 1-ой стратегии).

p2 = 3/8 (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (5/8; 3/8)

q1 = 3/4 (вероятность применения 1-ой стратегии).

q2 = 1/4 (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (3/4; 1/4)

Цена игры:

y = 13/4