Массовое обслуживание на СТО

Пример 1.   СМО с отказами

Пусть одноканальная однофазная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей.

 Заявка - автомобиль,  прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность  потока автомобилей λ = 1,0 (автомобиль в час).  Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

- относительной пропускной  способности q;

- абсолютной пропускной  способности А;

- вероятности отказа Pотк ;

Сравните фактическую  пропускную способность СМО с  номинальной, которая

была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили

следовали один за другим без  перерыва.

Решение

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

 

  µ = 1/t_{обс= 1/1,8=0,555}

 

2. Вычислим относительную пропускную способность:

 

q= µ/ µ+ λ= 0,555/1+0,555=0,356

     

 

 

 

 

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

                          A= λ * q= 1 * 0,356= 0,356

Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в  среднем 0,356

обслуживания автомобилей в час.

4. Вероятность отказа:

                            Р_отк= 1 –q = 1 – 0,356= 0,644

 

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

5. Определим номинальную пропускную способность системы:

                       A_ном= 1/t_обсл= 1/0,8= 0,555  (автомобилей в час)

 

Оказывается, что А_ном в 1,5 раза (0,555/0,356=1,5) больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

 

 

 

 

 

Существует однолинейная однофазная модель массового обслуживания, где λ - средняя плотность потока требований;  µ – параметр обслуживания одного требования; N – очередь (максимально возможна). Рассмотрим время t. Как меняется система от t до t+ . Е0 – событие в системе отсутствуют требования в момент времени t+ . Вероятность событий : в момент времени t – требование отсутствует полная группа событий в момент времени t – одно требование. Полная вероятность отсутствий. , где Е1 – в системе находится одно требование в течение t времени.  Еn – в системе находится n требование в течение t времени.     Стационарная вероятность – такая вероятность, которая не зависит от времени.

 

Следовательно, при этом Pn(t)=const, a P’n(t)=0.

 

Принимая условия cтационарности, определим коэффициент загрузки 

Операционные характеристики – это те характеристики, которые  влияют на выбор той или иной системы  массового обслуживания (максимальная длина очереди, средняя длина  очереди, максимальное и среднее  время нахождения в системе).

Среднее число требования в системе: 

Дисперсия или квадрат  отклонения среднего числа требований:

Средняя длина очереди: 

 

Среднее время ожидания обслуживания: 

 

Максимальная длина очереди: