Теория линейных непрерывных систем управления

Теория линейных непрерывных систем управления

Основными формами представления операторов преобразования входных переменных в переменные выхода являются: дифференциальные уравнения, передаточные функции, временные и частотные характеристики. Эти и некоторые другие представления операторов рассматриваемого класса моделей могут быть приняты за основу задания динамических свойств в терминах вход-выход. Если для конкретных исследований та или иная форма оказывается более предпочтительной, ставится и решается задача перехода от одной формы к другой, например, построения временных и частотных характеристик по дифференциальному уравнению или передаточной функции.

Временные характеристики являются одной из форм представления операторов преобразования переменной f(t) в переменную y(t). Импульсная переходная функция или функция веса w(t) – реакция системы на единичный идеальный импульс при нулевых начальных условиях. Другая, часто употребляемая временная характеристика – переходная характеристика h(t) – реакция системы на единичную ступенчатую функцию 1(t) при нулевых начальных условиях. Временные характеристики – импульсная переходная функция и переходная характеристика – могут быть получены экспериментально, если удается подать на вход объекта воздействие в виде достаточно узкого импульса с необходимой амплитудой или ступенчатой функции времени. Последнее более реально; функцию веса w(t) впоследствии можно получать дифференцированием функции h(t). Существуют методы построения временных характеристик по частотным, базирующихся на обратном преобразовании Фурье. В классической теории автоматического управления для решения дифференциальных уравнений часто привлекают так называемый операторный метод, связанный с преобразованием Лапласа. Метод особенно удобен в случае типовых воздействий в виде обобщенных функций и позволяет легко учесть ненулевые начальные условия.

Построение временных характеристик по нормальной форме пространства состояний связано с вычислением матричного экспоненциала – матрицы перехода. Другим способом численного получения значений матрицы перехода при фиксированных значениях является разложение матричного экспоненциала в степенной ряд.

Частотные характеристики элементов и систем представляют собой зависимость параметров установившихся реакций на гармонические сигналы всех частот и единичных амплитуд. В линейных системах форма и частота установившейся реакции совпадают с формой и частотой сигнала на входе. Реальные объекты с повышением частоты хуже пропускают сигналы – ослабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг. Амплитудно-частотные характеристики удобно представлять в логарифмическом масштабе. Если частота изменяется в логарифмическом масштабе, то логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) во многих практически важных случаях мало отличаются от прямолинейных асимптот с наклонами, кратными 20 дБ/дек. Частотные характеристики – амплитудную и фазовую – можно получать экспериментальным путем, если удается подавать на вход устойчивого объекта гармонические воздействия различных частот из диапазона, существенного для выявления требуемых свойств объекта. Статистические методы непараметрической идентификации (спектральный анализ) позволяют оценить значения частотных характеристик путем обработки временных последовательностей на входе и выходе объекта. Частотные характеристики можно получить по временным характеристикам с помощью преобразования Фурье.

Передаточные функции, все нули и полюсы которых находятся в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми. Такие передаточные функции соответствует меньшим по модулю фазовым сдвигам по сравнению с любыми другими передаточными функциями, имеющими ту же ЛАЧХ, но часть нулей и/или полюсов справа от мнимой оси.

Зачастую для вычисления передаточной функции применяется правило Крамера. С его помощью можно вычислить передаточную функцию, связывающую одну из выходных переменных с одним из воздействий. Этот способ сводится к вычислению определителей полиномиальных матриц.

Несмотря на то, что любая из форм представления операторов может быть принята за основу задания динамических свойств систем, для конкретных исследований та или иная форма оказывается более рациональной. Возникает необходимость перехода от одной формы к другой. Многие задачи анализа связаны с преобразованием формы представления оператора. В результате построения математических моделей физических систем с сосредоточенными компонентами аналитическим методом обычно получаются системы дифференциальных уравнений.

Под структурой систем управления понимают причинно-следственную связь между элементами направленного действия. Понятие «система» и «структура» являются близкими по смыслу. Наиболее общие определения понятий системы и структуры строятся как отношения на множествах. Математически – это графы. Графы являются универсальны средством описания структур систем. При небольшом числе элементов и связей весьма наглядны диаграммы графов, т.е. их геометрические образы. В зависимости от элементов множеств рассматриваются различные типы графов.

В зависимости от подхода к моделированию, от конкретного содержания элементов исходного множества и элементов отношения модели с раскрытой структурой могут быть представлены структурными схемами, сигнальными графами, системами дифференциальных уравнений в причинно-следственной форме и некоторыми другими формами.

Структурная схема представляет собой причинно-следственную связь звеньев. Линейное звено в общем случае имеет любое число входов, оно преобразует сумму входов в единственную переменную выхода по некоторому оператору. В частном случае оператора тождественного преобразования звено выступает как сумматор. Структурная схема является ориентированным графом и состоит из множества вершин и множества дуг – упорядоченных пар вершин. Теоретико-множественное описание систем дает естественный способ ввода и редактирования моделей систем управления как последовательного раскрытия неопределенности.

Сигнальный граф или граф Мэзона является одной из удобных в теории и расчетной практике форм представления моделей систем управления. Формы представления моделей и способы их отображения могут быть различными – символьными или алгебраическими (уравнения, матрицы), геометрическими или топологическими (диаграммы графов).