Теория управления

2. колебательное (0<x<1):

3. звено запаздывания:

 

 

Решение:

 

Графическое представление  переходных и импульсных функций  называют временными характеристиками. Временные характеристики представляют процессы, происходящие в динамическом и статическом режимах. Переходной функцией h(t) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии, что на вход подано единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h(t) от времени t, называют переходной характеристикой. В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной характеристики, которая называется кривой разгона.

Импульсной дикцией или  весовой функцией w(t) называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График зависимости функции w(t) от времени называют импульсной переходной (импульсной характеристикой).

Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или  составной части W(S) и известен входной  сигнал X(t), то выходной сигнал y(t) определяется следующим соотношением:

 

 

 

Таким образом, изображение  выходного сигнала  представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y(t) в явном виде получил после перехода от изображения к оригиналу y(t). Для большинства случаев линейных систем и составных элементов разработаны таблицы, позволяющие производить переход от изображений к оригиналу и обратно.

Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно  , то изображение переходной функции определяется соотношением:

 

 

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на S и выполнять переход от изображения к оригиналу.

Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

 

 

 

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.

Так как  , то между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость:

 

 

Следуя  выше сказанному, находим временные  функции заданных звеньев и строим их графическое представление:

 

1) для       :

 

; , где по условию задачи , , а время зададим t = 0…15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) для   :

 

 

;      , где ,         и    , ,

 

2

 

 

 

 

 

3) для   :

 

;     ;      ;  , для времени t взят интервал 0..3 и .

                 ……….

 

 

 

 

4.Задание 2.

 

Для каждого звена системы автоматического  регулирования из заданного набора определить и построить амплитудно-фазовую  частотную характеристику (АФЧХ).

В задании следующие разновидности  звеньев:

 

1. изодромное 1-го порядка:

;

2. колебательное (0<x<1):

3. форсирующее 1-го порядка:

 

.

 

Решение:

 

Если задана передаточная функция W(p), то путём подставки p=jw получаем частотную передаточную функцию W(jw), которая является комплексным выражением т.е. , где А(w) вещественная составляющая , а К(w) мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:

где          - модуль;

- аргумент частотной передаточной  

  функции.

 

Функция М(w), представленная при изменении частоты от 0 до ¥ получило название амплитудной частотной характеристики (АЧХ).

Функция j(w), представленная при изменении частоты от 0 до ¥ называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Частотная передаточная функция  W(jw) может быть представлена на комплексной плоскости. В этом случае для каждой из частот в диапазоне от 0 до ¥ производится определение вектора на комплексной плоскости и строится годограф вектора. Годограф будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Таким образом,  для определенной частоты имеем вектор на комплексной плоскости, который характеризуется модулем М и аргументом j. Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного. Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выходного сигнала по отношению к входному. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, .а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.

 

 

1) для   ;

 

 

;  ,

  ;  ; .

 

 

2.  для    .

 

 

;  ,

, , , .

 

 

3) для   :

 

 

;  ,

; ; .

 

 

 

5.Задание 3.

 

Определить устойчивость линейной системы автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой  имеет вид:

 

 

 

с параметрами  ; ; ; ;

 

Решение:

 

 

Частотный критерий устойчивости Михайлова.

 

Русским ученым А.В. Михайловым в 1936-1938 гг. был разработан критерий, позволяющий судить об устойчивости САР по очертаниям годографа вектора, соответствующего знаменателю частотной  передаточной функции замкнутой  САР при изменении частоты  от нуля до бесконечности. Критерий Михайлова  предполагает построение годографа  на комплексной плоскости. Для построения годографа путем подстановки  p=jw получают аналитическое выражение вектора D(jw):

 

 

                                         (5.2)

Данное уравнение является комплексным  и может быть представлено в виде:

 

 

 

 

Построение годографа  производится по уравнению вектора  D(jw) при изменении частоты от 0 до ¥.

Для случая устойчивости системы  n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при w = 0 годограф начинался на вещественной положительной оси и обходил против часовой стрелки n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.

Если годограф начинается в нулевой  точке комплексной плоскости  или проходит через эту точку  при определенной частоте, то система  считается нейтральной.

Рассмотрим отдельно левую часть  характеристического уравнения  и приведём её к общему виду:

 

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + … + a_n-1p + a_n.

 

         

 

Подставив значение p = jw, где w – угловая  частота колебаний, в формулу  общего вида получим характеристический комплекс:

 

D(jw) = X +jY,

 

где

X=a_n - w²a_n-2 + w⁴a_n-4 - ...,  -  вещественная часть D(w) содержащая

               четные степени w;

Y=w(a_n-1 - w²a_n-3 + w⁴a_n-5 -...-мнимая часть D(w) содержащая

       нечетные степени  w

и заменив коэффициенты , получим

Задаваясь значениями частоты от нуля до бесконечности на комплексной  плоскости построим годограф Михайлова.

 

 

 

Критерий  устойчивости Михайлова формулируется  следующим образом:

для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при  изменении частоты от нуля до бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости  и не пересекая начала координат, последовательно пересек столько  квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином  характеристического уравнения  системы.

 

В нашем случае построение было прекращено, когда стало ясно, что годограф из данного квадранта  не выйдет. Годограф нарушил последовательный порядок пересечения квадрантов - система будет неустойчивой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Литература 

 

1. Теория автоматического управления / Под ред. А.А.Воронова. - М. : Высшая школа. -1977.-Ч.I.-304с.
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. - М. : Наука, 1974.
3. Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. – М. : “Энергия”, 1967