Величины в начальном курсе математики

Разобщенность Руси привела к тому, что была разрушена устоявшаяся метрологическая система измерения длины и веса.

3. Метрология  образования и укрепления Московского  государства (XV-XVII вв.). Государственная  политика была направлена на  упорядочение единиц измерений, придание большей стройности, полноты  и законности всей системе  мер и весов. Мероприятия по  унификации единиц измерения  распространялись главным образом  на города, торги, ярмарки и другие торговые объекты.

Двинская грамота Ивана Грозного о новых печатных мерах (осьминах) от 21 декабря 1550 г. являлась исторически важным документом, внедряющим систему мер и весов. Она опиралась на органы земского самоуправления и на порядок передачи верных значений единиц измерения от образцовых мер к рабочим. Повсеместно в государстве вводились московские образцы. 
В качестве весовых мер использовались пуд, гривна, фунт и литра, в качестве угловых - градус и румб. Градус представлял собой l/360 часть окружности, а румб-1/32 часть круга. Он использовался в основном для определения направления относительно сторон горизонта.

В этот период была сделана настойчивая попытка ввести в Московском государстве единство мер и весов.

4. Метрологическая  деятельность Российской академии  наук с 1770 по 1800 г. (XVIII в.). Осуществление поставленной Петром I задачи "прорубить окно в Европу", повлекшее за собой расширение культурных, научных, производственных и торговых связей с Западом, отразилось на метрологии как петровской, так и послепетровской эпохи.

В этот период развитие системы русских мер получило ряд особенностей, к которым следует отнести увеличение количества малых мер, повышающих точность измерений, сближение русских мер длины с английскими, введение некоторых дополнительных английских мер.

Петр I организовал ввоз из-за границы в Россию измерительных приборов, столь необходимых для армии и флота. B 1725 г. по его идее была создана Российская академия наук, которая разработала ряд руководств по использованию системы единиц в различных измерениях. 
На многих оружейных заводах организовывались контрольно-измерительные лаборатории. Для обеспечения их работы российская система единиц длины была дополнена еще двумя английскими - футом и дюймом. Введение их было вызвано также необходимостью осуществлять заказы на строительство кораблей за границей.

В это же время в качестве единицы площади стал использоваться квадратный метр (м²).

В 1700 г. Петр I издал указ, согласно которому сутки делились на две равные части (по 12 ч каждая). Начало суток было перенесено на строго определенное время - полночь. Деление суток производилось с помощью часов: 12 ч дня отмечалось выстрелом из пушки, установленной на бастионе Петропавловской крепости2.

5. Зарождение  метрической системы (1800-1900 гг.). Революционное правительство Франции в 1799 г. ввело метрическую систему мер, которую предлагалось использовать всеми государствами.

Этот период характерен централизацией метрологической деятельности и началом широкого участия русских ученых в работе международных метрологических организаций. Указом "О системе Российских мер и весов" (1835 г.) были утверждены эталоны длины и массы. Эталон длины представлял собой платиновую сажень, равную 7 английским футам, и платиновый фунт, совпадающий по весу с бронзовым золоченым фунтом 1747 г. В 1842 т. на территории Петропавловской крепости и специально построенном здании было открыто Депо образцовых мер и весов. В этом метрологическом учреждении не только хранились эталоны и их копии, но и изготовлялись образцовые меры для местных органов. 
В 1849 г. вышел капитальный труд "Общая метрология", разработанный Ф. И. Петрушевским и удостоенный Императорской академией демидовской премии.

В 1869 г. петербургские академики Б. С. Якоби, Г. И. Вильд и О. В. Струве направили в Парижскую академию наук доклад с предложением изготовить новые международные прототипы метра, килограмма и распределить их копии между заинтересованными государствами. Это предложение было принято. В мае 1875 г. была подписана Метрическая конвенция. В соответствии с этим документом Россия получила платиноиридиевые эталоны единицы массы № 12 и 26 и эталоны единицы длины N 11 и 28, которые были доставлены в новое здание Депо образцовых мер и весов.

В 1892 г. управляющим Депо был назначен Д. И. Менделеев, который много сделал для развития отечественной метрологии. Д. И. Менделеев (1834-1907 гг.) является основоположником научного подхода в развитии метрологии. Время с 1892 по 1918 г. называют менделеевским этапом развития метрологии. Это этап научного становления метрологии и активного внедрения ее в народное хозяйство. В 1893 г. Д. И. Менделеев преобразует Депо образцовых мер и весов в Главную палату мер и весов - одно из первых в мире научно-исследовательских учреждений метрологического профиля. Ученый утверждал, что "наука начинается... с тех пор, как начинают измерять; точная наука немыслима без меры". Однако ему не удалось в полной мере внедрить метрическую систему в народное хозяйство. С 1899 г. она применялась в стране факультативно наряду со старой русской и британской (дюймовой) системами.

6. Повсеместное внедрение метрической системы во все области народного хозяйства России (с 1900 г. и по настоящее время). 14 сентября 1918 г. Совнарком РСФСР принял декрет "О введении международной метрической системы мер и весов", который положил начало нормативному этапу развития отечественной метрологии3.

     Современная метрология включает  три составляющие:

(1)  законодательную метрологию;

(2)  фундаментальную (научную) метрологию;

(3)  практическую (прикладную) метрологию. Результаты измерений выражают в узаконенных величинах. Одна из главных задач метрологии — обеспечение единства измерений. Она может быть решена при соблюдении двух основополагающих условий:

(1)  выражение результатов измерений в единых узаконенных единицах;

(2)  установление допускаемых погрешностей результатов измерений — пределов, за которые они не должны выходить при заданной вероятности.

Основная задача метрологии — обеспечение единства измерений путем установления единиц физических величин, государственных эталонов и эталонных (образцовых) средств измерений, обеспечение единства измерений и единообразия средств измерений,   разработка  методов  оценки  погрешности  средств измерений, контроля и испытаний, а также системы передачи размеров единиц от эталонов, эталонных (образцовых) средств измерений рабочим средствам измерений.  До последнего времени в нашей стране они устанавливались особым видом документов — государственными стандартами (ГОСТ). В настоящее время на смену им приходят национальные стандарты (ГОСТ Р),  основное отличие которых — добровольность применения.

 

1.2. Виды величин, изучаемые в начальных  классах

Величина - это особое свойство реальных объектов или явлений, особенность которых заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины, которые    выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами.

Различают два понятия: «прерывная величина» и «непрерывная величина».

Прерывная величина — величина, в которой составляющие ее элементы строго фиксированы, могут быть отделены друг от друга. Такая величина определяется в основном посредством счета (с помощью чисел или без них).

Непрерывная величина определяется на основе измерения. В этой величине составляющие ее элементы трудно или невозможно отделить друг от друга и пересчитать (сыпучие, жидкие вещества, протяженность, объем).

Такие величины как длина, площадь, масса обладают рядом свойств:

1) Любые две  величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин  одного рода имеют место отношения  «равно», «меньше», «больше» и для  любых величин и справедливо  одно и только одно из отношений: Например, длина гипотенузы прямоугольного  треугольника больше, чем любой  катет данного треугольника; масса  лимона меньше, чем масса   арбуза;   длины   противоположных   сторон прямоугольника равны.

2) Величины  одного рода можно складывать, в результате сложения получится  величина того же рода. Т.е. для  любых двух величин а и b однозначно  определяется величина a+b, ее называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС, то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС.

3) Величину умножают на действительное  число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b=ха,  величину b называют произведением  величины, а   на число  x. Например,  если  a - длину  отрезка  АВ умножить на х = 2, то получим длину нового отрезка АС.

4) Величины  данного рода вычитают, определяя  разность величин через сумму. Разностью величин а и b называется  такая величина с, что а=b+c. Например, если а -  длина отрезка АС, b -  длина отрезка AB, то длина отрезка ВС  есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины  одного рода делят, определяя  частное через произведение величины  на число; частным величин а  и b называется такое неотрицательное  действительное число х, что а=х*b. Чаще это число называют отношением величин а и b и записывают в следующем виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.

6) Отношение  «меньше» для однородных величин  транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади  треугольника F3, то  площадь треугольника F1  меньше площади треугольника F3. Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение - заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Величины, как свойство объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей другой, для масс - третий и т.д., в результате измерения величина получается определенное численное значение при выбранной единице.

Если дана величина а и выбрана единица величины e, то в результате измерения величины а находят такое действительное число x, что а=x*e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).

Согласно определению, любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7*1 кг, 12 см =12*1 см, 15 ч=15*1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12 ч в минутах. Так как, 5/12ч = 5/12  60 мин = (5/12 *60)мин = 25 мин.

Величины, которые определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объем, масса и др. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают еще векторные величины. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряженность электрического поля и др. Для определения векторной величины необходимо указать не только ее численное значение, но и направление изменения.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины,  причем такие,  численные  значения  которых положительны, то есть положительные скалярные величины4.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению численных значений величин, т.е.,  операции   над   величинами   к  соответствующим операциям над числами.

1. Если величины  а и b измерены при помощи единицы  величины e, то отношения между  величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.

 

a=b    m (a) = m (b),         

a>b    m (a)> m (b),  

a<b     m (a) < m (b).

Например, если массы двух тел таковы,  что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать, что масса  а  больше массы b поскольку 5>3.

2. Если величины  а и b измерены при помощи единицы  величины e, то, чтобы найти численное  значение суммы a+b, достаточно сложить численные значения величин а и b. а+b= cm(a+b) = m(a) + m(b). Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27 кг.

3. Если величины  а и b таковы, что b=xа, где x - положительное действительное число, и величина а, измерена при помощи единицы величины e,  то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число x  умножить на число m  (а):b=xa, m(b)=xm(a).

Например, если масса а в 3 раза больше массы b, т.е. b=3 а и  а = 2 кг, то b=3а=3*(2 кг) = (3*2) кг = 6 кг.

Например, математическое  содержание  предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы  использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 - численное значение массы  яблок при единице массы - килограмм.

Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что: