Математическое компьютерное моделирование систем автоматического регулирования

Функциональная  структурная схема  показывает функциональную зависимость между отдельными элементами автоматики данной САР.

Исходя из принципиальной схемы данной САР  строим ФСС.

Рисунок 2. ФСС  автоматического регулирования

 

В данной схеме:

Объект регулирования  – помещение (ОР)

Воспринимающий  орган – терморезистор  R_д  (ВО)

Сравнивающий  орган – мост сопротивлений (СО)

Задающий  элемент – сопротивление  R_o (ЗЭ)

Усилительный  элемент - дифференциальный магнитный усилитель (УЭ)

Исполнительный  орган – двухфазный двигатель  и клапан (ИЭ) Регулирующий элемент – калорифер (РЭ)

f – возмущающее воздействие (температура окружающей среды)

Задающим  воздействием служит температура в  помещении θ=20⁰С

2.4 Классификация САР по признакам.

1.Данная САР температуры воздуха в помещении является замкнутой, как это показано на ее функциональной схеме;

2.Данная система по алгоритму функционирования является системой стабилизации, то есть целью регулирования является поддержание постоянного значения температуры в помещении а, следовательно, сопротивления термостата Rд, соответствующего задающему воздействию R;

3.Данная САР является непрерывной - сигнал рассогласования изменяется во времени по значению и знаку лишь в зависимости от значений задающего воздействия и регулируемой величины;

4.Система является одномерной, так как регулируется единственная величина – температура;

5. По принципу действия – по отклонению;

6. По  виду вспомогательной энергии  – электрическая;

7. По виду дифференциальных уравнений, описывающих элементы САУ- Линейная САУ (Линейные САУ – это системы, все элементы которых описываются линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями);

8. По использованию усилителя – система прямого действия (имеется усилитель);

9. По  приспособлению к условиям работы  – обыкновенная;

Будем рассматривать данную систему как  стационарную и линейную, то есть использовать для ее описания обыкновенные линейные дифференциальные уравнения.

 

3. Компьютерное моделирование САР.

3.1 Математическая модель САР.

Для того чтобы проанализировать данную систему  необходимо составить ее математическую модель. Каждый элемент системы описывается  некоторым уравнением. Это уравнение  характеризует работу данного элемента. Точность математического описания системы определяется требуемой точностью регулирования. Чем точнее мы будем описывать элементы системы, тем сложнее получится математическая модель. Поэтому, необходимо найти разумный компромисс между точностью описания системы и сложностью ее математической модели.

Будем предполагать, что САР температуры воздуха  является стационарной. Предположение  о том, что все элементы системы  с сосредоточенными параметрами  и непрерывны во времени позволяет  использовать для описания элементов  системы обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Так как  многие элементы могут описываться  нелинейными дифференциальными  уравнениями, то решить их бывает сложно. Поэтому для описания системы  применяется приближенная линеаризованная  модель, в терминах передаточных функций.

Динамические свойства объекта  регулирования и элементов САР  описываются следующей системой уравнений:

Т₀ + k f– объект регулирования;

   - двигатель совместно  с клапаном;

ΔU=U₀-U – сравнивающий орган;

Т₄₊ U= ;

_{датчик;}

 

 

где Т₀ Т₂ Т₃ Т₄ – постоянные времени, с;

 θ –  значение температуры воздуха  в помещении, ºC;

  - значение температуры воздуха на выходе калорифера, ºC;

k k₁ k₂ k₃ - коэффициенты передачи;

f- возмущающее  воздействие на объекте регулирования;

- падение напряжения  на термодатчике, В;

 – напряжение на выходе мостовой схемы(сигнал рассогласования),В;

 μ –  линейное перемещение клапана,  см;

 - задающий сигнал, В.

Размерности и значения вышеперечисленных  коэффициентов в соответствии с  вариантом задания приведены  в таблице 1:

 

вариант	T0 С	T2 С	k	k1, B/ºC	k4	k2 , см/(В*с)	f, ºC	k3 ºC /см
7	120	0.055	0,19	0,4	1.4	0,0035	12	9

 

Таблица 1.Значение параметров элементов САР

3.2 Передаточные функции САР.

W₀₁(S)= - объект регулирования по регулирующему воздействию;

W₀₂(S)= - объект регулирования по возмущающему воздействию;

Wу(S)= - усилитель;

W_ДК(S)= – двигатель с клапаном;

W_к(S)= - калорифер;

W_д(S)= k₁- термодатчик.

 

3.3 Структурная схема САР.

Структурная схема системы автоматического регулирования (САР) - это графическое изображение системы в виде совокупности частей, на которые её можно разделить по определённым признакам, и связей между частями с указанием направления передачи воздействий. Структурная схема САУ строится из элементарных динамических звеньев.

Передаточные  функции:

Составим  структурную схему САР, которая  полностью отображает динамические свойства САР. Структурная схема САР представлена на рисунке 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 - Структурная схема САР

 

 

3.4 Разработка схемы структурного моделирования САР.

При помощи ПК «МВТУ» составляем структурную схему моделирования САР. Для этого каждое звено исходной структурной схемы заменяем соответствующим блоком из общетехнической библиотеки ПК «МВТУ». Полученная схема представлена на рисунке 4.

В блоке «задающее воздействие» вводим значение θ=20⁰С.

Рисунок 4. Структурная  схема моделирования САР

Заданное  значение температуры в помещении (задающее воздействие) θ = 20 ºC.

3.5 Этапы моделирования САР.

Для получения  графика переходного процесса необходимо последовательно реализовать 6 этапов:

1. заполнение схемного окна типовыми блоками;
2. проведение линий связи для получения схемы структурного моделирования;
3. введение параметров в каждый типовой блок;
4. введение параметров интегрирования;
5. пояснительные подписи на схеме моделирования;
6. открытие графического окна и получение графика переходного процесса.

3.6 Графики переходных процессов неустойчивой и устойчивой САР.

Графиком переходного  процесса называется изображение переходной функции.

Параметры интегрирования.

Для получения данного  графика необходимо подобрать и  ввести параметры счета:

 

• метод интегрирования  «Адаптивный 1»

исходя из наименьшей постоянной времени  с, принимаем значение шага интегрирования:

• максимальный шаг равен  0,0055
• минимальный  0,00055

исходя из наибольшей постоянной времени  с, принимаем первоначальное значение

• времени интегрирования 1200с.
• Точность интегрирования 0,001

Число точек выдачи данных рассчитываем по формуле:

 

Определив все показатели, заносим их в соответствующее  окно

«Параметры счета».

Подставив в каждое звено  структурной схемы соответствующие  коэффициенты и постоянные времени  получаем график переходного процесса  данной системы.

Рисунок  5. График переходного  процесса

Данный график получен  при k=1.4

3.7 Расчетные показатели качества.

     На рисунке 5 видно, что переходная функция  колебательно-затухающая.         При переходных функциях  качество САР характеризуется статической ошибкой Δθ_ст и временем регулирования t_pег.

     Статическая ошибка определяется требуемой точностью к поддержанию регулируемой величины.  Так, для САР температуры в помещении погрешность стабилизации температуры должна быть не более 2 ºС.

     Значение заданной величины Δ,  определяющей длительность времени регулирования t_p обычно принимают не больше 5% заданного значения регулируемой величины.

Переходной процесс САР  будут характеризовать следующие  показатели качества:

• Динамическое (отклонение) ошибка
• Точность (статическая ошибка)
• Быстродействие (время перерегулирования)
• Перерегулирование
• Число перерегулирования (число max значений параметра y) n=2
• Логарифмический декремент затухания

где .

Согласно  графику и расчетам САР не отвечает требованиям качества т.к. перерегулирование больше 20% от Yзад.

 

 

4. Коррекция САР.

Если  в результате моделирования установлено, что САР оказалась не устойчивой или её показатели качества не соответствуют  заданным, то дальнейший процесс моделирования  сводится к выбору корректирующих элементов.

Под коррекцией понимают изменение ее структурной  схемы с целью обеспечения  устойчивых с требуемыми показателями качества переходных процессов. Коррекция  САР достигается посредством  введения в систему дополнительных, корректирующих элементов, охватывающих один или несколько элементов  исходной схемы.

Коррекцию САР на основе прямых связей принято  называть последовательной, а с использованием обратных связей - параллельной.

 

4.1 Последовательная коррекция. Структурная схема САР. График переходного процесса скорректированной САР.

Для последовательного  корректирования в данную схему  необходимо ввести дополнительный корректирующий элемент (операционный усилитель), обеспечивающий прямую  положительную связь. Полученная схема представлена на рисунке 6.

Рис. 6. Структурная  схема с последовательной коррекцией.

При коэффициентах  и график переходного процесса выглядит следующим образом:

 

Рисунок 7. Переходной процесс САР

Переходной процесс САР  будут характеризовать следующие  показатели качества:

• Динамическое (отклонение) ошибка

• Точность (статическая ошибка)

• Быстродействие (время перерегулирования)

• Перерегулирование

• Число перерегулирования (число max значений параметра y)

n=0

• Логарифмический декремент затухания

Исследуя  данный график и показатели качества можно сказать, что полуколебаний  не стало, а время переходного  процесса значительно уменьшилось.

 

 

4.2 Параллельная коррекция. Структурная  схема САР. График переходного  процесса скорректированной САР.

Параллельная  коррекция САР обеспечивается посредством  обратных связей. Обратные связи могут  быть положительными или отрицательными, жесткими или гибкими.

Структурная схема моделирования, охваченная жесткой обратной связью, представлена на рисунке 8. В качестве корректирующего элемента нужно взять операционный усилитель.

Рисунок 8. Структурная  схема САР с параллельной коррекцией.

На рисунке 9 приведен график переходного процесса,  на котором видно, что предыдущая ошибка перерегулирования полностью  устранена.

При коэффициентах  и график переходного процесса выглядит следующим образом: