Фрактальная графика

Содержание

 

1. ВВЕДЕНИЕ

 

Фрактальная графика  не совсем та графика, к которой мы привыкли, она основана на математических вычислениях и мало что может сравниться с ее ирреальными завораживающими картинами. Но не многие слыша термин «фрактальная графика» понимаю о чем идет речь и именно поэтому я и выбрала темой своего курсового проекта «Фрактальная графика в природе и искусстве». Мне захотелось лучше разобраться с тем, что же такое фрактальная графика, как с помощью нее создаются такие прекрасные картины и где встречаются примеры фракталов в природе.

Целями моего курсового  проекта является:

1. Рассмотреть примеры фракталов в природе.
2. Рассмотреть использование фракталов для создания изображений.
3. Создать собственное изображения с помощью фрактальной графики.

Задачи:

1. Раскрыть понятия Фрактальная графика и фрактал.
2. Рассмотреть примеры фракталов в природе.
3. Рассмотреть основных программ – генераторов фракталов.
4. Создать собственного изображения.

Объектом моего исследования является фрактал. Этот термин обозначает геометрическую фигуру составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, то есть обладающую свойством самоподобия.

 

2. ОБЗОР ПО ТЕМЕ

2.1. Понятие фракталов и их классификация

 

Слово фрактал образовано от латинского «fractus», что в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Таким образом, фрактал – это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба¹. Как видно из определения основным свойством фракталов является самоподобие. То есть в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Мандельброт говорил, что  создать фрактал можно расщепляя  обычную геометрическую фигуру на все  более мелкие фрагменты.

Для удобства представления всего многообразия фракталов существует несколько классификаций фракталов, но основной является деление фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические. Она и рассматривается дальше.

Геометрические  фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

В машинной графике использование  геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта) [2,3].

 

 

 Рис 2.1.

 

В качестве примера геометрического фрактала рассмотрим триадную кривую Коха (рис. 2.1.). Построение начинает с двух фигур: инициатора и генератора. Инициатор - прямая линия. Генератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. В начале каждого этапа мы имеем некоторую ломаную; сам этап заключается в замене каждого прямого участка копией генератора, уменьшенной и смещенной так, чтобы ее концевые точки совпадали с концевыми точками заменяемого отрезка.² Если повторять эту операцию бесконечное число раз, кривая Коха становится фрактальным объектом.

 

 

 

 

 

Алгебраические  фракталы

Алгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов. Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.³

 

 

Рис 2.2

 

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (рис. 2.2.). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

 

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,

 

где Zi и C - комплексные  переменные. Итерации выполняются для  каждой стартовой точки C прямоугольной  или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому  множеству Мандельброта. Множеству  Мандельброта принадлежат точки, которые  в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

 

Стохастические  фракталы

Еще одним известным  классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том  случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря [2].

Пример стохастического фрактала – плазма (рис. 2.3.). Для её построения берется прямоугольник и для каждого его угла определяется цвет. Далее находятся центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваются в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбивается на 4 равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т. д.

 

2.2. Понятие фрактальная графика

Фрактальная графика – это один из видов компьютерной графики. Она основана на математических вычислениях. Базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула, то есть никаких объектов в памяти компьютера не хранится и изображение строится исключительно по уравнениям. Поэтому одним из преимуществом фрактальных изображений является малый размер файла и  уменьшение и увеличение без потерь.

Кроме того, изменив коэффициенты в уравнении, можно получить совершенно другую картину. Таким способом строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие природные ландшафты и трехмерные объекты.

Математической основой  фрактальной графики является фрактальная  геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен  принцип наследования, то есть новые объекты строятся, наследуя свойства родительских структур.

 

 

2.3 Фракталы в природе

 

Самыми известными фрактальными объектами в природе являются деревья: если посмотреть на точки ветвления дерева, можно заметить, что все они похожи независимо от размера (рис. 2.1.). Если рассматривать дерево, продвигаясь от основания к вершине, то видно как от ствола отходят главные ветви, от которых в свою очередь отходят более мелкие и так далее. Если взять одну ветку и ее ответвление, затем подняться выше и взять дочернюю ветку, форма разветвления и форма веток будут повторяться. И это подобие легко заметить, если двигаться вдоль любых веток дерева вплоть до самых их кончиков, где располагаются листья. Таким образом, по отдельной ветке математическими методами можно проследить свойства всего дерева.

Так же фрактальными свойствами обладают снежинки. Рассмотрим отдельную снежинку (рис. 2.2.). Ее лучи разветвляются все снова и снова, образуя лучики меньших размеров (рис. 2.3.), тем самым иллюстрируя основное свойство фракталов – самоподобие.

По фрактальным алгоритмам растут кристаллы и растения, в частности, листья папоротника, брокколи (рис. 2.4. и рис. 2.5). Если посмотреть на береговую линию моря на картах все более крупного масштаба, то становятся видны все новые изгибы и изломы, похожие на более крупные (рис. 2.6.).

 

 

 
 
2.4. Фрактальная графика в искусстве

 

Роль фракталов в  современной компьютерной графике  достаточно велика. Фракталы используются не только для создания ирреальных изображений, но и для генерирования реалистичных природных форм, таких как облака, снег, береговые линии, деревья и кусты и так далее. Поэтому фрактальные изображения применяются в самых разных сферах, начиная от создания обычных текстур и фоновых изображений и заканчивая фантастическими ландшафтами для компьютерных игр, фильмов или книжных иллюстраций.

Для генерации фрактальных  изображений существуют специальные  программы, которые так и называются – генераторы фракталов. Далее будут  рассматриваться самые распространенные из них.

Apophysis

Apophysis – это бесплатно распространяемая и, пожалуй, самая популярная программа для создания и редактирования фрактальных изображений. В окне редактора флеймов фрактала путем создания треугольников (флеймов), изменения их свойств и расположения есть возможность напрямую изменять составные фрактальные изображения. Кроме того, можно изменять настройки цвета и расположения изображения.

Готовые фрактальные  изображения сохраняются в собственном  формате программы *.flame или экспортируются в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и gif). ⁴

Ultra Fractal

Ultra Fractal представлен двумя  редакциями: Standard Edition и расширенной  Animation Edition, возможности которой позволяют  не только генерировать фрактальные  изображения, но и создавать анимацию на их основе. Созданные изображения можно визуализировать в высоком разрешении, пригодном для полиграфии, и сохранить в собственном формате программы или в одном из популярных фрактальных форматов. Визуализированные изображения также могут быть экспортированы в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и psd), а готовые фрактальные анимации - в AVI-формат.⁵

Fractal Explorer

Еще одна свободно распространяемая программа для создания изображений фракталов и трехмерных аттракторов. Создание фрактальных изображений возможно несколькими способами. Первый – это выбор одного из базовых фрактальных изображений,  изменение его цветовой палитры, размеров и добавление фонового изображения. Во втором случае сначала выбирается тип фрактала (классический Мандельброта, кубический Мандельброта и т.д.) и потом изменяется его параметры. Так же есть возможность создания пользовательской формулы с помощью встроенного компилятора.

Готовые фрактальные  изображения сохраняются в формате *.frs или экспортируются в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и gif). Кроме того, программа поддерживает стандартные форматы фрактальных изображений (*.frp; *.frs; *.fri; *.fro; *.fr3, *.fr4 и др.).

ChaosPro

ChaosPro является одним из лучших бесплатных генераторов фрактальных изображений. Программа имеет возможность автоматического построения фракталов и позволяет управлять данным процессом за счет изменения большого количества настроек (число итераций, цветовая палитра, степень размытия, особенности проецирования, размер изображения и др.). Кроме того, создаваемые изображения могут быть многослойными  и к ним можно применить целую серию фильтров.

Созданные фракталы могут  быть сохранены в собственном  формате программы, либо в одном  из основных фрактальных типов благодаря наличию встроенного компилятора. Или экспортированы в растровые изображения или 3D-объекты (если предварительно было получено трехмерное представление фрактала).

Chaoscope

Бесплатно распространяемая программа для генерирования  обычных двумерных фрактальных изображений и получения их трехмерных представлений в ходе визуализации. Генерация двумерных фракталов может осуществляться двумя путями: дорабатывается один из встроенных библиотечных проектов фрактальных изображений или создается новое изображение на основе определенного типа фрактала. И в том и в другом случае есть возможность корректировки значений параметров и выбора цветовой палитры.

Созданные двумерные  и трехмерные фрактальные изображения  сохраняются в собственных форматах программы или экспортируются в bmp-формат.

Fractal Extreme

Коммерческая программа для генерации двумерных фрактальных изображений. Фрактальные изображения создаются путем преобразования базовых изображений или самостоятельно на основе подходящего типа фрактала. Настройка параметров фрактального изображения включает регулирование количества итераций, настройку цветовой палитры и характера проецирования. Кроме того, фрактальное изображение можно масштабировать и обрезать, а также подогнать под требуемый размер.

Созданные изображения сохраняются в виде проектов в собственном формате или могут быть экспортированы в bmp-формат.

Mystica

Mystica

Коммерческий универсальный  генератор двумерных и трехмерных  фрактальных изображений и текстур. Пакет отличается нестандартным и достаточно сложным интерфейсом и может работать в двух режимах: Sample (ориентирован на новичков и содержит минимум настроек) и Expert (предназначен для профессионалов).

Генерация изображений  осуществляется на основе заложенных в пакете фрактальных формул, а многоуровневая система подготовки включает настройку цветов, возможность простейших трансформаций генерируемых элементов и прочие преобразования. В их числе применение фильтров, изменение освещения, корректировка цветовой гаммы, яркости и контрастности, изменение использованного при генерации материала, добавление к изображению "хаотических" структур и пр.