Индусская математика

     Как и в Вавилоне и Китае, в Индии  высокого расцвета достигли алгебраические вычисления. Алгебру, вместе с решением целочисленных неопределенных уравнений, индийцы называли «биджаганита» — «искусство вычисления с элементами» или «авьяктаганита» — «искусство вычисления с неизвестными».

     Выдающимся  достижением индийских математиков  было создание развитой алгебраической символики. Эта символика была даже богаче, чем у Диофанта. Впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней. Большинство символов представляет собой первые слоги соответствующих санскритских терминов.

     Неизвестную величину индийцы называли «йават-тават» (столько, сколько), для обозначения неизвестной служила буква, означающая слог «йа». Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: калака (черный), пилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), а обозначали первыми слогами соответствующих слов: ка, ни, пи, да, ло. Свободный член в уравнениях сопровождался первым слогом слова «руна» (целый). Иногда неизвестная обозначалась знаком нуля, так как первоначально в таблицах, например, пропорциональных величин, для нее оставлялась пустая клетка.

     Знаки, представляющие собой обозначения  первых слогов слов, применялись для основных действий. Сложение обозначалось знаком «йу» (вита» — сложенный), умножение — «гу» («гунита» — умноженный), деление — «бха» («бхага» — деленный).

     Обозначения степеней представляли собой сочетания  слогов «ва» («вар-га» — квадрат), «гха», («гхана» — куб) и слова «гхата» — произведение, т. е. степени и неизвестных обозначались: 

     x 2 =ва, x 3 =гха, x 4 = ва ва , x 5 = ва гха гхата , x 6 = ва гха , x 7 = ва вагха гхата , x 8 = ва ва ва , x 9 = гха гха .

     Мы  видим, что для степеней, показатели которых имеют вид 2^α, 3^β, обозначения состоят из слога «ва», повторенного α раз, и слога «гха», повторенного β раз. Таким образом, степени этого вида образуются по мультипликативному принципу. Напротив, обозначения степеней, показатель которых не представляется в таком виде, образуются по аддитивному принципу, причем слово «гхата» (произведение) означает, что степень такого типа представляет собой произведение степеней, суммой показателей которых является показатель этой степени. Следовательно, индийская символика принципиально отличается от символики Диофанта, где названия степеней были основаны на чисто аддитивном принципе. Квадратный корень обозначался слогом «му» — от слова «мула».

     Знака равенства не было: обе части уравнения  писали в две строки так, чтобы  одинаковые степени стояли друг под  другом. Если неизвестная отсутствовала, то записывали ее знак с коэффициентом нуль. Уравнение 10x - 8 = x² + 1 записывается в виде йа ва 0 йа10 ру 8 йа ва 1 йа 0 ру 1 уравнение 8x³ + 4a² + 10y²x = 4x³ + 12y²x йа гха 8 йа ва 4 ка ва йа 10 йа гха 4 йа ва 0 ка ва йа 12

     Символы применялись и в учении о прогрессиях. Первый член обозначается «а» от «ади»—(первый член), разность арифметической прогрессии — «ча» или «у» от «чайа» или «уттара» (разность прогрессии), число членов — «па» или «га» от «пада» или «гачха» (число членов), сумма прогрессии — «сан» или «ган» от «санкалита» или «ганита» (сумма).

     Итак, индийские ученые сделали большой  шаг в создании символической  алгебры, хотя их обозначения были громоздки, а сами знаки, т. е. сапскритские буквы, имели сложное начертание.

     Задачи  на квадратные уравнения имеются  в «Ведах» и «Шулва-сутре», но с решением их мы впервые встречаемся, по-видимому, у Аръабхаты. Так, задача на сложные проценты приводит к уравнению tx² + px = qp. Решение этого уравнения, приведенное Ариабхатой словесно, можно записать в виде x= qpt+ ( p 2 ) 2 − p 2 t .

     Немного спустя квадратные уравнения появляются в «Бахшалийской рукописи». Примерно в это же время большой вклад в решение квадратных уравнений внес Брахмагупта, который сформулировал общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к канонической форме ax² + bx = c, a > 0, где коэффициент при неизвестной первой степени b и свободный член с могут принимать и отрицательные значения. Решение Брахмагупты такое же, как у Ариабхаты. Шрпдхара словесно формулирует решение в несколько другом виде: x= 4ac+ b 2 −b 2a . Брахмагупта еще не говорит о двух корнях квадратного уравнения, но Магавира уже знает об этом и формулирует решение квадратного уравнения вида l m x 2 −x=−n с помощью правила x= m l ± ( m l −4n ) m l 2 , говоря, что «квадратный корень можно как прибавлять, так и вычитать».

     Бхаскара уже формулирует условие существования двух положительных корней. Индийцы решали и системы уравнений; например, Бхаскара решал задачу об определении катетов х и у и гипотенузы z прямоугольного треугольника по его периметру и площади, сводящуюся к системе { xy=p, x+y+z=q, x 2 + y 2 = z 2 . Бхаскара рассматривал также специально подобранные уравнения третьей и четвертой степеней, целочисленные корни которых он находил путем несложных преобразований. 

     Геометрия 

     Знания  и открытия индийских математиков  в области геометрии значительно уступают их знаниям и открытиям по арифметике, алгебре, теории чисел. Специальных сочинений по геометрии в Индии не было, геометрические сведения сообщались в арифметических трактатах или в арифметических разделах сочинений по астрономии.

     Геометрические  предложения приводились без  доказательств. Часто все сводилось  к чертежу со словом «смотри», который  в редких случаях сопровож дали краткие указания. По-видимому, доказательства сообщались учащимся устно. В геометрических задачах вопрос сводился к вычислению и никогда — к построению. Однако многими видами построений индийцы владели и пользовались в строительном деле. 

     Наиболее  ранние сведения о познаниях индийцев в области геометрии находим  в «Шулва-сутре» (VII—V вв. до н. э.), служившем руководством при постройке алтарей и храмов. Постройка храмов подчинялась ряду правил: они ориентировались по странам света; в основании храма лежали определенные фигуры. Все это требовало решения геометрических задач: построения прямого угла, квадрата, прямоугольных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами, построения квадрата, равновеликого прямоугольнику, построения квадрата, площадь которого кратна площади данного квадрата. Отправной точкой многих построений служила теорема Пифагора: с помощью пифагоровых треугольников строились прямые углы и производилось построение квадрата с кратной площадью. Для удвоения квадрата за сторону искомого квадрата бралась диагональ исходного, для построения квадрата, равновеликого двум данным квадратам, в большем квадрате строили меньший квадрат и соединяли их вершины так, как показано на рис. слева; проведенная линия является гипотенузой треугольника, катеты которого равны сторонам данных квадратов.

      Доказательство теоремы Пифагора приводятся в «Венце знания» Бхас-кары в виде чертежа (см. рис. справа) с надписью «смотри». Если мы обозначим катеты прямоугольного треугольника, построенного на каждой из сторон квадрата чертежа Бхаскары, через а и b, а гипотенузу этого треугольника, равную стороне квадрата, через с, то площадь с² квадрата равна четырем площадям прямоугольного треугольника, т. е. квадрата чертежа Бхаскары, через а и b, а гипотенузу этого треугольника, равную стороне квадрата, через с, то площадь с² квадрата равна четырем площадям прямоугольного треугольника, т. е. 4ab/2 = 2ab, и площади квадрата, построенного на разности катетов треугольника, т. е. а - b, откуда, упрощая, получим соотношение и площади квадрата, построенного на разности катетов треугольника, т. е. а - b, откуда, упрощая, получим соотношение c² = a² + b².

     Сведения  по геометрии имеются также в  трактатах Брахмагупты, Ма-гавиры, Шридхары, Бхаскары. Брахмагупта приводит приближенное правило для вычисления площади произвольного четырехугольника как произведения полусумм противоположных сторон, с которым мы встретились в математике египтян и вавилонян. Шридхара указывал, что это правило нельзя применять ко всем четырехугольникам. Он сообщает точное правило вычисления площади трапеции. Брахмагупта для нахождения площади четырехугольника пользовался правилом, аналогичным правилу Архимеда — Герона для площади треугольника: S= ( p−a )( p−b )(p−c )( p−d ) , где а, b, с и d — стороны четырехугольника, а р — полупериметр. Это правило верно только для четырехугольников, вписанных в круг. Брахмагупта не оговаривает этого, но фактически рассматривает лишь два типа четырехугольников — равнобедренные трапеции и четырехугольники с пересекающимися под прямым углом диагоналями, для  

которых правило справедливо.

     Как уже упоминалось, геометрические доказательства крайне лаконичны, но нередко весьма наглядны. Так, для обоснования правила  вычисления площади треугольника приводится рисунок, в котором высота прямоугольника равна половине высоты треугольника (см. рис. слева). Для обоснования предложения «Площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого соответственно равны полуокружности и радиусу» Гане-ша делит круг на 12 равных секторов, а затем разворачивает каждый полукруг, состоящий из 6 секторов, в пилообразную фигуру, основание которой равно полуокружности, а высота — радиусу (см. рис. справа). Прямоугольник, о котором говорится в условии, получится при вставлении зубьев одной из «пил» в зазоры между зубьями другой. По-видимому, читатель должен был представить себе, что круг разделен не на 12, а на столь большое число секторов, что эти секторы станут неотличимы от треугольников, составляющих «пилы». В обоих случаях, как и при доказательстве Бхаскарой теоремы Пифагора, доказательство состояло из чертежей и слова «смотри».

     Приближенные  выражения отношения длины окружности к диаметру мы находим уже в  сиддхантах. В «Пулисе-сиддханте» (V в. н. э.) говорится, что длина окружности относится к диаметру, как 3927 к 1250, что соответствует значению π = 3,1416. То же значение π в виде 62832/20000 мы находим у Ариабхаты. Брахмагупта пользовался приближением π = √10, возможно, китайского происхождения. Встречается у индийцев и приближение π = 22/7. В сиддхантах, как и у александрийских астрономов, окружность делится на 360 градусов, каждый градус — на 60 минут, но радиус делится не на 60 частей, а на 3438 минут. Это объясняется тем, что, если считать окружность равной 360 · 60 = 21 600 минутам, а π = 3,1416, то из соотношения С = 2πr, мы найдем, что r = 3437,7 минут. Как мы видим, индийцы измеряли радиус в долях окружности уже в V в., поэтому возможно, что приведенная выше «теорема Ганеши» была известна индийцам задолго до Ганеши. Возможно также, что в чертеже Ганеши предполагалось, что круг разделен на 3438 секторов.

     Шридхара приводит правила вычисления объема призмы V = SH, объема усеченного кругового конуса V= πH 3 [ R + 2 rR+ r 2 ],где π= 10 , и объема кругового конуса V = SH/3.

     Бхаскара дает правило вычисления объема шара V = 4πR³/3, где π = 3,1416.

     Индийская математика оказала огромное влияние  на развитие математики как на Востоке, так и на Западе. Именно в Индии была разработана наша арифметика, основанная на десятичной позиционной нумерации, а также такие арифметические правила, как тройное правило и его обобщения. Наши термины «корень» и «синус» постоянно напоминают нам о роли индийских ученых в разработке алгебры и тригонометрии. Оказали влияние на Европу и их теоретико-числовые исследования. В значительной степени индийцам обязаны мы и введением отрицательных и иррациональных чисел. К сожалению, математические и астрономические труды индийцев, написанные в XV—XVII вв., и в частности такое замечательное открытие, как бесконечные ряды для арктангенса, синуса и косинуса, остались в свое время неизвестными за пределами Индии и были получены вновь европейцами. Несомненно, что вклад индийцев в развитие мировой математики был бы во много раз больше, если бы Индия не попала на несколько столетий под колониальное иго.