Математические знания египтян

 

 

Содержание

Введение...........................................................................................3

Математика древнего Египта..........................................................4

Математика древней Индии............................................................7

Математика древнего Китая............................................................9

Математика древнего Вавилона....................................................11

Математика древних Шумер.........................................................13

Заключение.....................................................................................16

Список литературы........................................................................17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний:

1. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.
2. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.
3. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.
4. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
5. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось.

Помимо большого исторического  интереса, анализ эволюции математики представляет огромную важность для развития философии и методологии математики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретных математических дисциплин; например, древняя китайская задача (теорема) об остатках сформировала целый раздел теории чисел.

Неолитическая революция  осуществлялась неравномерно, и наиболее интенсивно её процессы шли в немногих регионах. Там и возникли первые великие цивилизации древности, своеобразные острова культуры, качественно  более сложной по сравнению с  первобытностью. Наиболее известны в  настоящее время цивилизации, возникшие  в междуречье Тигра и Евфрата, в долине Нила, в долине реки Инд, в долине реки Хуанхэ и в центральной Америке

 

 

 

 

 

Математика древнего Египта

 

В долине Нила с очень  давних времён жили люди, исстари говорившие на одном языке и считавшие  себя одним народом. Видимо, поэтому здесь возникла первая в истории система единого национального государства, просуществовавшая во много раз дольше всех других. Это произошло около 3300 – 3000 гг. до н.э. Примерно в это время начинают делать папирусные свитки, разрабатывается система иероглифов, осваивается счёт. Для фараонов, жрецов, вельмож возводят монументальные гробницы-мастабы, в них пытаются сохранять мумифицированные тела покойных. Тогда же формируется особый менталитет, в котором царь — воплощение бога Гора. 
Боги были антропоморфны (похожи на людей) или соединяли черты человека и животного: Анубис — человек с головой шакала, Гор — с головой сокола, Мут — женщина с головой львицы и т.п. Были и зооморфные боги, например, скарабеи — навозные жуки, богиня Баст (Бастет) — кошка, Хатор — небесная корова. Самые почитаемые боги: Амон (Ра), бог солнца; Анубис — покровитель мёртвых; Гор — бог неба, солнца, покровитель царской власти; Осирис — владыка подземного царства, умиравший каждую осень и воскресавший зимой; Сет — повелитель сил зла; Исида — богиня семейной любви и верности, покровительница мудрости и магии, близкая к Иштар-Астарте-Иннане, ипостась единой богини любви. Высоко почитался бог мудрости Тот, покровитель литературы, писцов, лекарей и магов. 
          Жрецы очень рано начали наблюдать за небом, чтобы определять смены сезонов, предугадывать разливы Нила. В египетских храмах сохранились древние карты  звёздного неба, где звёзды объединены в созвездия. Жрецы умели даже предсказывать солнечные затмения. На основе своих наблюдений жрецы составили солнечный календарь, который лежит в основе современных европейских календарей.  
Фараоны издавна начали строгий учёт своих владений, и прежде всего земли; для описи всех земель их измеряли, что требовало развития геометрии. Геометрические знания и вычисления применялись в строительстве пирамид и храмов, в сооружении ирригационных систем. Египтяне пользовались десятеричной системой исчисления, знали простые дроби. Египетская математика, как и месопотамская, не знала доказательств и выводов, аксиом и теорем. Каждая решаемая задача была уникальной, и изучение математики сводилось к запоминанию ранее найденных решений задач.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. К сожалению, египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса или Ринда (84 математические задачи) и московский математический папирус (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это копии, переписанные в период гиксосов. Гиксо́сы — группа кочевых скотоводческих азиатских племён из Передней Азии, захвативших власть в Нижнем Египте в середине XVII в. до н. э. и затем, около 1650 г. до н. э., образовавших свою династию правителей. Свое название они получили от египетского Hqa xAswt «правитель (чужеземных) стран», передаваемое по-гречески ὑκσώς или ὑξώς. Манефон (Иосиф Флавий «Против Апиона» I. 14, 82-83) переводит слово «гиксосы», как «цари-пастухи» или «пленники-пастухи», последнее подтверждается египетским HAq «добыча», «пленник». Время правления гиксосов в истории Древнего Египта принято называть Вторым переходным периодом.. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для  науки стран древнего Востока, наводит  на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как  в более древние, так и в  более поздние времена. После  воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

 

Нумерация и разложение чисел

 

Рис.Иероглифическая запись числа 35736

 

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида и . Однако общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

 

Рис.Пример иероглифической записи уравнения

 

Числа в Древнем Египте записывали двумя способами: словами и цифрами.

Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные  иероглифы или то же самое написать цифрами (три символа десятки). Обоими способами можно было записывать любые числа. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число нужно было знать следующую таблицу значений:

1 × 2 = 2 2 × 2 = 4 4 × 2 = 8 8 × 2 = 16 16 × 2 = 32

Пример разложения числа 25:

• Кратный множитель для числа «25» - это 16.
• 25 – 16 = 9,
• Кратный множитель для числа «9» - это 8,
• 9 – 8 = 1,
• Кратный множитель для числа «1» - это 1,
• 1 – 1 = 0

Таким образом «25» - это сумма  трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример:

Умножим «13» на «238»:

 

✔	1 × 238	= 238
✔	4 × 238	= 952
✔	8 × 238	=1904
	13 × 238	= 3094

 

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 × 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

 
Математика древней  Индии

 

Индийцы изобрели числительные, немецкий филолог  Шлегель отмечает, что "десятичная система счисления, являющаяся наряду с письменностью одним из важнейших  достижений человечества, с общего согласия авторитетных историков признана изобретением индийцев".

Крупнейший  индолог  Моньяр Вилльямс в своей  книге "Мудрость индийцев" признает, что "у них (индийцев) арабы почерпнули не только первые представления об алгебраическом анализе, но и те цифры и десятичную систему, которые используются теперь во всем мире".

Другой  английский исследователь Хантер отмечает, что "им (индийцам) мы обязаны изобретением чисел десятичной шкалы, и индийские  цифры от 1 до 9 являются сокращенными формами начальных букв самих числительных, а ноль представляет собой первую букву санскритского слова "шунья", что значит "пустота". Арабы заимствовали их у индийцев и способствовали их распространению в Европе.

Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до 10⁵⁰. Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими

Открытия  древних индийцев в области точных наук повлияли на развитие арабской и ирано-персидской науке. Почетное место в истории математики занимает ученый Арьяпхата, живший в V- начале VI века н. э.   

Почетное  место в истории математики занимает ученый Арьяпхата, живший в V- начале VI века н.э. Ученый знал значение “пи”, предложил оригинальное решение линейного уравнения. Более развита была алгебра, а понятия “цифра”, “синус”, “корень” впервые появились именно в Древней Индии. Достижения древнеиндийских математиков превзошли то, что было сделано в этих областях знаний в Древней Греции. В Индии употреблялся знак, обозначающий 0. В Индии был создан своеобразный солнечный календарь. Год состоял из 360 дней.

Алгебра. Древние индийцы умели решать квадратные уравнения и были знакомы с иррациональными числами и извлечением корней. Алгебра развивалась вместе с астрономией, следовательно, можно заключить, что она существовала еще в 3000-2500 г. до н.э.

Мудрец  Бхаскарачарья написал книгу "Сиддханта  сиромани" ("Основополагающие принципы"), содержащую трактаты по алгебре и арифметике. Его деление круга примечательно детальным анализом: 60 викальпа (секунд) = 1 кала (минута) 60 кала = 1 бхага (градус) 30 бхага = 1 раси (время зенита одного из зодиакальных знаков, т.е. европейский месяц) 12 раси = 1 бхагана (оборот, цикл) Арьябхата и Бхаскарачарья были выдающимися учеными того времени. Как пишет английский математик Лесбридж, Бхаскарачарье "были известны математические действия очень близкие дифференциальному исчислению современных европейских математиков".