Математические знания египтян

 

 

 

Рис.От этих индийских значков произошли современные цифры (начертание I века н. э.)

Математика древнего Китая

 

Культура Древнего Китая  развивалась в долине реки Хуанхэ примерно в то же время, что и культура первых цивилизаций Ближнего Востока — месопотамской и египетской. Китайские историки считают датой возникновения первой китайской цивилизации ХХVIII век до н.э., когда начали править «пять совершенно мудрых государей древности»  и возникла впервые собственно китайская этническая общность и государственность.

Показателем  общего  подъема  культуры  Древнего  Китая  эпохи  Чжаньго  было  также развитие  научных знаний, прежде всего математики. Прогресс в этой области науки определяется ее прикладным характером. Престиж математики в Китае был высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, и экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников.

Составленный во II в. до н. э. трактат «Математика в девяти книгах» подобно «Началам» Евклида  содержит компендиум математических  знаний, накопленных предшествующими  поколениями  ученых. В этом  трактате зафиксированы правила действий с дробями, пропорции и профессии, теорема Пифагора, применение подобия прямоугольных треугольников, решение системы линейных уравнений и многое другое. «Математика в девяти книгах» была  своего  рода  руководством  для землемеров,  астрономов,  чиновников  и т.  д. Для исследователя истории Древнего Китая эта книга помимо своего чисто научного значения ценна  тем,  что  в  ней  нашли  отражение  реалии  ханьской  эпохи:  цены  на  различные товары,  показатели урожайности земледельческих культур и т. д.

Рис.Математика в девяти книгах (начало)

 

В I—V вв. н. э. китайцы уточняют число п.

В это время китайцам уже было известно многое, в том числе:

• вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного);
• действия с дробями и пропорции;
• действия с отрицательными числами (фу), которые трактовали как долги;
• решение квадратных уравнений.

Был даже разработан метод фан-чэн (方程) для решения систем произвольного числа линейных уравнений — аналог классического европейского метода Гаусса. Численно решались уравнения любой степени — способом тянь-юань (天元术), напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.

С  развитием  математики  были  тесным  образом  связаны  значительные  достижения  древних  китайцев  в области  астрономии  и  календаря.  В «Исторических  записках»  Сыма Цяня  одна  из  глав  раздела «Трактаты» специально  посвящена проблемам небесных  светил. Аналогичная глава содержится  и в «Ханьской  истории» Бань  Гу,  где приводятся  названия  118  созвездий (783  звезды). 

В 104 г. до н. э. было вычислено, что продолжительность года составляет 365,25 дня. Принятый в этом году календарь использовался вплоть до 85 г. н. э. По этому календарю год состоял из 12 месяцев; дополнительный месяц добавлялся в високосном году, который устанавливался один раз в три года.

Солнечно-лунный  календарь  древних  китайцев  был  приспособлен  к  нуждам  сельскохозяйственного  производства. Календарю уделялось  значительное внимание в тех научных  трактатах, которые обобщали важнейшие  достижения земледельческой техники.

Математика древнего Вавилона

Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые  датируются от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э.

Математика на клинописных  табличках в основном была связана  с ведением хозяйства. Арифметика и  нехитрая алгебра использовались при  обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных  процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими  общественными работами.

 

Рис.Вавилонская табличка вычислением 

= 1.41421296...

 

Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку  календарь использовался для  определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса  и минуты - на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии. Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10.

Вавилоняне составили  таблицы обратных чисел (которые  использовались при выполнении деления), таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов  и кубических корней.

Около 700 г. до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет. Это позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии.

В геометрии вавилоняне знали  о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих  сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность, будет только прямой. Они располагали  также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, в том  числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число  “пи” вавилоняне считали равным 3.

Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами - весь свод математических знаний представлял  собой скопление эмпирических формул и правил. Математика, которая решала в Вавилонии ряд практических задач, существенных для измерения полей, создания построек и ирригационных сооружений и т. п., оказалась более свободной от влияния религиозных представлений и смогла достигнуть в храмовых школах Вавилонии наибольших успехов. В одном вопросе вавилонская математическая наука стояла даже несколько выше позднейшей древнегреческой, а именно в вопросе написания всех мыслимых чисел минимальным количеством цифровых знаков. В вавилонской математике, как и в современной, был осуществлён принцип, согласно которому одна и та же цифра имеет различную числовую значимость в зависимости от места, занимаемого ею в числовом контексте (позиционная система). Однако в Вавилонии, наследнице культуры Шумера, числовая система покоилась не на десятичной основе, а на шестидесятеричной. Вавилонская числовая система продолжает жить и в наше время в делении часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, а также в делении окружности на 360 градусов. 
          Вавилонские писцы решали планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные впоследствии и виде так называемой пифагоровой теоремы, а в стереометрии решали такую сложную задачу, как измерение объёма усечённой пирамиды. Доказано, что вавилонские математики являлись основоположниками алгебры, поскольку они решали в некоторых случаях уравнения с тремя неизвестными. Они могли также в ряде случаев извлекать не только квадратные, но и кубические корни.

 Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.

математический  геометрический древнеегипетский число

Рис.Вавилонские цифры

Вавилонская расчётная техника  была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре. Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора, известная ещё в эпоху Хаммурапи.

 

Математика шумер

Практические потребности  способствовали возникновению и развитию математических знаний. Эти потребности возникали и в производстве, и в строительстве, и в торговле. Так, в сельском хозяйстве требовалось определять размеры площадей полей; для орошения полей в некоторых случаях требовалось сооружение водоподъемных машин, при котором приходилось делать расчеты не только арифметического, но также геометрического и механического порядка; изготовление плугов, лопат, кос и другого мелкого сельскохозяйственного инвентаря также требовало математических расчетов. Кроме указанных выше потребностей приходилось сооружать плотины и каналы, для чего также были необходимы математические и механические расчеты.

Далее, уже в шумерскую  эпоху существовала внутренняя и  внешняя торговля, достигшая особо  широкого развития в Древневавилонском  царстве. В эту эпоху из Вавилонии вывозились соль, хлеб, шерсть и масло, а ввозились самые разнообразные товары — золото, серебро, медь, свинец, бронза, железо, драгоценные камни, асфальтовая смола, кипарисовое дерево, растительное масло, лошади и рабы. Наконец, еще в шумерскую эпоху велось крупное строительство дворцов и храмов, развившееся далее в Древневавилонском царстве. При строительстве дворцов, храмов и других сооружений требовалось определять точные размеры их площади и высоты, при купле и продаже требовалось определять вес и количество покупаемых или продаваемых товаров. Все эти потребности постепенно привели к созданию систем счисления, с течением времени все улучшавшихся.

В результате многовекового  развития и улучшения систем счисления  укрепилась шестидесятеричная система  счисления (1, 60, 360), допускающая применение также подсобных десятикратных  делений (10, 600, 3600). За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд:

1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.

Эта громоздкая шестидесятеричная  система позволяла шумерам вычислять  дроби и перемножать числа  до миллионов, извлекать корни и  возводить в степень. Во многих отношениях эта система даже превосходит  применяющуюся нами в настоящее  время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что  она продолжает применяться и  в наше время  отсюда, например, деление круга на 360 градусов.

Мы редко осознаем, что не только нашей геометрией, но также и современному способу исчисления времени мы обязаны  шумерской системе счисления  с шестидесятеричным основанием. 

Наличие этих последних делений показывает, что первоначальной системой счисления у шумеров была естественная десятеричная система, по числу пальцев на руках; она же лежит и в основе древнейшей пятидневной недели. Шестидесятеричная система, несомненно, была введена искусственно, вероятно, в связи с теми «священными» числовыми категориями, какие были получены при выработке системы счета времени.

 

 

Рис.Шумерская система счисления

 

Из дошедших до нас математических текстов II и начала I тыс. мы узнаем о  достигнутом тогда уровне математических знаний. В учебных таблицах по математике встречаются вычисления и задачи на четыре основных арифметических правила (сложение, вычитание, умножение и деление). Кроме того, вавилонянам было известно возвышение в квадратную степень и извлечение квадратного корня; но определенной даты последнего открытия мы установить не можем. Шумеры знали и применяли принцип золотого сечения, использовали числа Фибоначчи, обладали знаниями современного уровня по химии, фитотерапии и астрономии.

Некоторых успехов уже  в древневавилонскую эпоху достигла также геометрия. Из эпохи III династии Ура дошла до нас табличка с  планом поля, на котором для производства измерения площади последнее  было разделено на четыре прямоугольника, семь треугольников и четыре трапеции; на оборотной стороне таблички дается вычисление площади поля на основании  сложения площадей прямоугольников, треугольников  и трапеций. Для практического обучения геометрии и геодезии в эпоху Хаммурапи составлялись сборники задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Во всей математике Древнего Востока мы нигде не находим никакой  попытки дать то, что мы называем доказательством. Нет никаких доводов, мы имеем только предписания в  виде правил: «делай то-то, делай так-то». Мы не знаем, как там были получены теоремы, например, как вавилонянам  стала известна теорема Пифагора. Было сделано несколько попыток  объяснить, как египтяне и вавилоняне получали свои результаты, но все они  являются только предположениями. Нам, воспитанным на строгих выводах  Евклида, весь этот восточный способ рассуждения кажется на первый взгляд странным и крайне неудовлетворительным. Но такое впечатление исчезает, когда  мы уясняем себе, что большая часть  математики, которой мы обучаем современных  инженеров и техников, все еще  строится по принципу «делай то-то и  делай так-то», без большого стремления к строгости доказательств. Алгебру  во многих средних школах все еще  изучают не как дедуктивную науку, а скорее как набор правил. Видимо, восточная математика никогда не могла освободиться от тысячелетнего  влияния технических проблем  и проблем управления, для пользы которых она и была создана