Паркеты для улиц и площадей

Проектно-исследовательская работа

 Тема:  «Паркеты для улиц и площадей»

Аннотация

В работе исследованы математические основы паркетов из правильных многоугольников, полуправильных многоугольников и неправильных многоугольников, показано применение приемов составления паркетов при укладке тротуарной плитки.

Содержание

1	Введение…………………………………………………………
2	Теоретическая часть
	2.1. Математические основы паркетов
	2.1.1. Правильные паркеты………………………..…….
	2.1.2. Полуправильные паркеты …………………………
	2.1.3. Паркет из неправильных многоугольников………
3	Практическая часть
	3.1. Измерение параметров внутреннего двора Дома детского творчества и вычисление его площади …………..
	3.2. Создание дизайн – проекта, различных способов укладки плитки…………………………………………………
4	Заключение……………………………………………………
	Литература…………………………………………………..…
	Приложения……………………………………………………

 

 

 

 

 

1. ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Интерес к теме вызван тем, что за последние годы в городах России, в том числе и во Владимире появились необыкновенные "паркеты", они украшают площади и улицы, придавая им неповторимый колорит (см. Приложение 1) Территория нашего поселка:  дворов, улиц и площади, также давно нуждается в замене старого асфальтового покрытия (см. Приложение 2). Как же создать такую красоту и нам? Ответ на этот вопрос я попытался найти при разработке данного проекта.

В процессе работы возникло много вопросов, при решении которых пришлось расширить область исследования. Изначально я хотел выяснить только закономерность укладки тротуарной плитки исходя из знаний геометрии, но помимо этого, для создания дизайн – проекта двора Дома детского творчества п. Ставрово необходимо было собрать информацию об истории использования данного способа мощения, местном производстве, технологии изготовления, преимуществе выбранного нами материала, поэтому наша работа получилась такой разноплановой.

Проблема: Выяснить насколько математика значима в строительстве и ремонте

Объект исследования  - паркеты

Предмет исследования - укладка паркетом улиц, дворов и площадей поселка Ставрово

Гипотеза: Расчеты для укладки тротуарной плитки производятся по тем же принципам, что и паркеты.

 Цель работы: создать дизайн-проект двора Дома детского творчества        п. Ставрово

Задачи работы:

1. Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить паркет.

2. Практическое применение геометрических приемов составления паркетов при укладке тротуарной плитки.

3. Развитие умений и  навыков исследовательской работы  и прикладное применение знаний  в создании дизайн проекта.

 

 

 

 

 

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Математические  основы паркетов

     Определение паркета: Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

 

2.1.1. Правильные паркеты.

Паркет называется правильным, если он состоит из равных правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

Чтобы определить количество правильных паркетов, прежде всего вспомним определение правильных многоугольников из учебника А. Атанасяна «Геометрия 7-9»: «Правильным многоугольником называется выпуклый многогранник, у которого все углы и все стороны равны» (рис. 1)

 

рис. 1. Правильные многоугольники

Что же называется правильным паркетом?

     Обозначим  через n число сторон правильного многоугольника, тогда – сумма всех внутренних углов многоугольника.  каждый угол правильного многоугольника. 

    Чтобы можно  было сгруппировать вокруг какой  – то точки определенное число  одинаковых правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма их углов, сходящихся в данной точке, равнялось 360о.

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n–угольников, то

Величина угла правильного n–угольника равна

то должно выполняться равенство:

После преобразований получим:

, где m – натуральное число.

Так как m должно быть натуральным числом, то надо выяснить, при каких натуральных п будет  натуральным числом значение дроби . Данная дробь "неправильная" в том смысле, что степени многочленов в числителе и знаменателе одинаковые. Поэтому сначала выделю целую часть дроби

Значение дроби будет натуральным числом, если (п – 2) является делителем числа 4.

Буду перебирать все делители числа 4 и вычислять соответствующие значения п. Решение оформлю в виде таблицы:

п – 2	1	2	4
п	3	4	6

Если n = 3, то (6 треугольников в узле). 
Аналогично, нахожу значения m при п равном 4 и 6.

Если n = 4, m = 4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n = 6, m = 3 (шестиугольника)

Вывод 1: Правильный паркет можно построить из:

• правильных треугольников (рис.2а);

• правильных шестиугольников (рис.2б);

• правильных четырехугольников (рис.2в).

 

                                  а                           б                             в

рис. 2. Правильные паркеты.

2.1.2. Полуправильные паркеты

Можно подумать, что наличие только трех видов правильных паркетов обусловлено исключительно значениями углов правильных многоугольников, и если отказаться от требования правильности многоугольников, то число паркетов увеличится.

Паркет называется полуправильным, если он состоит из правильных многоугольников (возможно с разным числом сторон), одинаково расположенных вокруг каждой вершины.

Предположим, что полуправильных паркетов бесконечное множество.

Величина каждого угла

,

 

в то же время

,

(т. к. внутренний угол  правильного треугольника 60º),

т. е.

 а) , значит, окрестность точки нельзя замостить двумя правильными многоугольниками.

б) , следовательно. наименьшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы покрыть окрестность точки, равно 3.

в)

г)

д) , наибольшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы окрестность точки, равно 6.

Вывод 2: Таким образом, предположение о том, что полуправильных паркетов бесконечно много неверно. Окрестность точки можно замостить 3, 4, 5, 6 правильными многоугольниками.

Следующий этап моего исследования состоит в том, чтобы узнать, сколько всего типов полуправильных паркетов можно изобразить.

Решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине паркета сходятся 3, 4 и 5 правильных многоугольников.

Обозначу через углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360о, составлю таблицу, содержащую возможные наборы углов и укажу соответствующие паркеты.

1	90о	135о	135о			Паркет из квадрата и двух восьмиугольников
2	60о	150о	150о			Паркет из треугольника и двух двенадцатиугольников
3	90о	120о	150о			Паркет из квадрата, шестиугольника и двенадцатиугольника.
4	60о	90о	90о	120о		Паркет из треугольника, двух квадратов и шестиугольника.
5	60о	60о	120о	120о		Паркет из двух треугольников и двух шестиугольников
6	60о	60о	60о	60о	120о	Паркет из четырех треугольников и шестиугольника
7-8	60о	60о	60о	90о	90о	Паркет из трех треугольников и двух квадратов

Вывод 3: Таким образом, кроме трех правильных паркетов имеется 8 типов полуправильных (рис 3).

 

рис. 3. Полуправильные паркеты

Примеры паркетов (см. Приложение 3)

2.1.3. Паркеты из неправильных многоугольников.

Рассмотрю вопрос о заполнении плоскости неправильными равными многоугольниками.

Сначала выясню, можно ли заполнить плоскость произвольными равными четырехугольниками и, если можно, то какими.

Возьму произвольный четырехугольник ABCD и построю симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник (рис.4). Исходный обозначим цифрой 1 а симметричный – цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами A, B, C, D. Поскольку сумма углов четырехугольника равна 360о, то эти четырехугольники заполняют часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины.

рис. 4. Паркет из произвольных равных четырехугольников.

Четырехугольник ABCD может быть и невыпуклым (рис. 5).

рис. 5. Паркет из невыпуклых равных четырехугольников

Вывод 4: Четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

Теперь можно доказать, что можно сложить паркет из произвольных неправильных, но все же одинаковых треугольников. Для этого сложим из треугольников одинаковые параллелограммы, а затем замостим всю плоскость такими параллелограммами (рис. 6).

 

рис. 6. Паркет из произвольных равных треугольников.

 

Аналогично, плоскость можно покрыть шестиугольниками и пятиугольниками при некоторых условиях на стороны и углы.

Для шестиугольника определю следующие условия:

(рис. 7)

Легко проверить, что , поэтому этими углами можно замостить окрестность точки.

 

 

 

 

 

 

рис.7. Паркет из шестиугольника

 

Легко проверить, что , поэтому этими углами можно замостить окрестность точки.

Для составления паркета из данного шестиугольника, достаточно рассмотреть два шестиугольникa: ABCDEO и A’B’C’D’E’O’. Шестиугольник A’B’C’D’E’O’ получается из шестиугольника ABCDEO с помощью центральной симметрии относительно середины отрезка ОЕ.

Вывод 5: Плоскость можно покрыть копиями центрально–симметричного шестиугольника

 

 

Интересно знать, что плоскость можно покрыть копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: "Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника". В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников (рис. 8).