Динамическая модель управления производственными ресурсами и оборотным капиталом в промышленной логистике

Продолжая процедуру итеративного решения задач линейного программирования, мы разобьем интервал времени на конечное число отрезков, на каждом из которых будет сохраняться одно и то же в течение всей продолжительности временного отрезка распределение производственных ресурсов, обеспечивающих при сделанных предположениях оптимальное решение задачи (1)-(4).

Необходимо отметить, что характер распределения производственных ресурсов на интервалах времени зависит не от величины объема незавершенного производства на операциях , а от последовательности достижения минимумов в соотношениях вида:

(17)

 

где - объем незавершенного производства на операции при -ой итерации решения задачи линейной оптимизации (10)-(12);

 - соответствующее производительности при решении -ой задачи оптимизации.

Таким образом, при сохранении последовательности  достижения минимумов на операциях в соотношении (17) для различных меняются величины интервалов , а их количество и распределение производственных ресурсов по операциям сохраняется.

Геометрическая интерпретация  этого факта состоит в следующем. Целевая функция (10) при последовательном решении задач оптимального распределения ресурсов является убывающей кусочно-постоянной функцией времени, которую мы обозначим . Она имеет вид, представленный на рис. 2.

Рис.2. График ступенчатой функции прибыли

 

Если сохраняется последовательность операций, на которых достигается  минимум в соотношении (17), то график функции  при варьировании будет сохранять количество ступеней и их высоту, а изменяться будут только интервалы времени, на которых сохраняет постоянство функция .

 

Модель оптимизации  структуры основных фондов многономенклатурного производства

 

Ниже будем предполагать, что  при проектировании нового предприятия, которое будет выпускать видов конечной продукции, необходимо определить объемы и виды закупаемого оборудования, исходя из потребностей рынка на конечную продукцию на заданном временном интервале и ограниченности инвестиционных ресурсов .

В качестве критерия оптимальности  при выборе производственного оборудования, как и ранее, будет использован  суммарный маржинальный доход, полученный от реализации выпущенной продукции. С использованием ранее введенных обозначений постановка данной задачи состоит в следующем:

	(18)
, ; ; ,	(19)
,	(20)
	(21)
,	(22)

где - задает количество единиц оборудования , которое необходимо использовать в производственном процессе;

  - цена единицы оборудования вида .

 

Ограничение (22) определяет минимальный  и максимальный объем выпуска  по каждому виду продукции.

Для решения задачи (18)-(22) могут  быть использованы методы имитационного моделирования, основанные на эвристических соотношениях выбора вектора , задающего структуру производственного аппарата, и дальнейшем решении задачи (18)-(22) с использованием подходов, изложенных в первом разделе данной статьи.

 

Анализ устойчивости динамической модели

 

При прогнозировании  материальных потоков производства и последующем планировании производственной программы необходимо учитывать неточность таких прогнозов и, следовательно, влияние отклонений в поставках материальных ресурсов на финансовый результат работы предприятия. Оценка такого влияния возможна при условии анализа устойчивости решения исходной задачи.

Пусть решением исходной задачи (1)-(4) являются производительности на каждой операции, заданные функциями , . Введем следующие определения.

Определение 1: Возмущенным потоком материальных ресурсов задачи (1)-(4) назовем поток при условии, если , и существует хотя бы одно , для которого выполняется условие:

(23)

Определение 2: Задача (1)-(4) устойчива по решению, если ее решение при потоках материальных ресурсов и решение при потоках материальных ресурсов совпадают.

Рассмотрим критерий устойчивости по решению задачи (1)-(4). Пусть решение задачи (1)-(4) при потоках материальных ресурсов на временном периоде . Задача (1)-(4) устойчива по решению, если для всех для невозмущенной задачи.

Доказательство критерия устойчивости следует из того факта, что возмущенный поток материальных ресурсов приводит к увеличению запасов на первых операциях производственного процесса. Учитывая, что при невозмущенном потоке эти запасы не были полностью использованы при выпуске конечной продукции, их увеличение не может привести к повышению маржинального дохода (1), а следовательно и к изменению оптимального решения, заданного функциями .

 

Пример расчета оптимального использования производственных ресурсов в динамической модели управления производственными процессами

 

Рассмотрим упрощенную схему бизнес-процессов  для предприятия, выпускающего два  вида продукции: столы и стулья. Выпуск каждого вида изделия требует  обработки материальных ресурсов на следующих операциях:

1. изготовление комплектующих из древесины;
2. обработка комплектующих на электрорубанке;
3. сверление крепежных отверстий с использованием электродрели;
4. сборка конечного продукта.

Графически схема бизнес-процессов для двух видов конечной продукции (столы и стулья) может быть изображена следующим образом:

Рис.3. Графическая схема бизнес-процессов для производства двух видов продукции

 

Будем считать, что в производственном процессе участвуют следующие виды оборудования:

1. электропила – 1 единица;
2. электрорубанок – 2 единицы;
3. электродрель – 2 единицы.

Кроме того, малое предприятие, которое занимается выпуском мебели, использует труд наемных рабочих в количестве пяти человек. Таким образом, вектор ресурсов задан в нашем случае следующим образом .

Объемы незавершенного производства и материальных ресурсов на каждой операции заданы следующим образом:

Маржинальный доход при выпуске  одного стола составляет 1,6 тыс. рублей, при выпуске одного стула - 1 тыс.рублей ( ). Производительность рабочих на сборочных операциях такова: один рабочий за смену может собрать 4,4 стола или 6,4 стула.

Тогда  оптимизационная задача загрузки персонала предприятия  на сборочных операциях состоит в следующем:

Решим графически эту оптимизационную  задачу. Для этого перепишем целевую  функцию в виде:

Далее рассмотрим, может ли быть маржинальный доход равен 50, т.е. . Пусть , тогда . Пусть , тогда .

Рассмотрим графическую интерпретацию  возможности получения такого маржинального  дохода.

Рис.4. Графическая интерпретация возможности получения маржинального дохода в 50 единиц

 

Из полученного рисунка видно, что маржинальный доход в 50 единиц при заданных условиях получить. В то же время, перемещая параметрическое семейство прямых по направлению к началу координат, получим следующее оптимальное решение исходной задачи: , . Значение маржинального дохода будет равно .

Учитывая ограниченность незавершенного производства на операции сборки стола, рассчитаем в течение какого времени рабочие должны заниматься сборкой стола. Учитывая, что сменная производительность пяти рабочих равна стола, получим, что на этой сборочной операции они будут задействованы в течение смены. Далее для того чтобы осуществлять выпуск столов, необходимо выполнять также операции сверления крепежных отверстий, необходимых для сборки стола. Будем полагать, что для сверления крепежных отверстий для стола рабочий затрачивает 30 минут или 0,06 смены. Учитывая, что для сборки одного стола рабочий затрачивает смены. С учетом затрат на сверление отверстий затраты на сборку стола составляют смены. Следовательно, производительность одного рабочего при выпуске столов составит стола за смену. Поэтому оптимальная целевая функция в этой ситуации будет выглядеть следующим образом:

 

(24)

При ограничениях:

	(25)
	(26)
,	(27)

 

Здесь неравенство (26) задает ограничение на производительность электродрели.

Решим графически оптимизационную  задачу (24) – (27). Перепишем целевую функцию в виде:

.

 

Приравняем значение целевой функции 40 и получим:

.

 

Если  , то . Если , то .

Графически ограничения оптимизационной задачи и график функции выглядят следующим образом:

 

Рис. 5. Графическое отображение системы ограничений задачи (24) – (27)

 

При перемещении множества параметрических  прямых по направлению к началу координат, получим оптимальное решение задачи (24) – (27): , . Таким образом, все рабочие должны заниматься сборкой стульев, начиная с момента времени . Учитывая, что сменная производительность рабочих при сборке стульев составляет , через смены закончится сборка стульев на операции 2.4.

Далее будем предполагать, что подготовка крепежных отверстий для стула  занимает 20 минут. Получим, что сборка стула с учетом потраченного времени на сверление крепежных отверстий составит смены. Следовательно, количество стульев, которые может собрать рабочий с учетом затрат на операции 2.3 равна . Поэтому целевая функция оптимальной задачи будет иметь следующий вид:

(28)

 

Ограничения оптимальной задачи распределения  ресурсов производства имеют следующий  вид:

	(29)
	(30)
,	(31)

 

Решим графически задачу (28) – (31), приравняв значение целевой функции к 30 единицам:

Рис. 6. Графическое отображение решения задачи (28) – (31)

 

Из графика видно, что оптимальным решением будет решение , . Учитывая, что объем незавершенного производства на операции 1.3 равен 40, сборка столов, начиная с момента времени , будет продолжаться в течение времени 40/3,4*5=2,3 смены. Таким образом, график интенсивности получения маржинальной прибыли может быть представлен следующим образом:

Рис. 7. График интенсивности  получения маржинальной прибыли 

 

Величина маржинальной прибыли на временном интервале равна площади заштрихованного многоугольника, изображенного на рисунке.

 

Нами рассчитано оптимальное распределение  производственных ресурсов для первых 4,12 производственных смен. Аналогичным образом расчеты могут быть продолжены до момента времени, когда будет использован весь объем незавершенного производства на операциях 1.2 и 2.1

Работа  представляет материалы гранта : «Индивидуальный исследовательский проект» № 07-01-81 «Методы управления инвестициями в логистике» , выполнен при поддержке ГУ-ВШЭ.

 

Литература:

 

1. Мищенко А.В., Косоруков О.А. «Исследование операций», М., Экзамен 2003.;
2. Сток Д., Ламберт Д. «Стратегическое управление логистикой», М., Инфра-М, 2005.