Экономический рост в модели межотраслевого баланса

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных. На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших

направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий экономико-математических исследований.

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением.

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й

отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование

запасов и т.д.).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляет эти величины связаны следующими балансовыми равенствами :

х1 - (х11 + х12 + . + х1n) = у1    

х2 - (х21 + х22 + . + х2n) = у2                                      (3.1);

xn - (xn1 + xn2 + . + xnn) = yn

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х’ik , y’i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y1 , y2 , . , yn , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

у = (у1 , у2 , . , yn) ,                                                (3.2);

а совокупность значений x1 , x2 , . , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :

x = (x1 , x2 , . , xn).                                                  (3.3);

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами . Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :

xik

aik = –––  (i , k = 1 , 2 , . , n).                                (3.4);

xk

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что

x’ik        xik

–––  = ––– = aik = const                                        (3.5);

x’k        xk

Исходя из этого предложения имеем

xik = aikxk ,                                                            (3.6);

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. поэтому равенство (3.6) называют условием линейности прямыхзатрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле (3.5), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив

их другим образом, получим матрицу которую  называют матрицей затрат.

a11 a12 . a1k . a1n

a21 a22 . a2k . a2n

A=     ........

ai1 ai2 . aik . ain

an1 an2 . ank . ann

Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричногонеравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель :

x1 - (a11x1 + a12x2 + . + a1nxn) = y1

x2 - (a21x1 + a22x2 + . + a2nxn) = y2                               (3.7);

..............

xn - (an1x1 + an2x2 + . + annxn) = yn   ,

Система уравнений (3.7) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

_        _    _

Е·х - А·х = У , или окончательно

_     _

(Е - А)·х = У ,            (6')

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a11   -a12  .  -a1n

E - A=     -a21   1-a22 .  -a2n

.......

-an1    -an2 . 1-ann                                                              (3.8);

Уравнения (6) содержат 2n переменных (xi и  yi). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y1 , y2 , . , yn) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х1 , х2 , . хn).

Из равенства вытекает следующее: Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2 =S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го

продукта, то величины S1k, S2k, ., Sik, ., S nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k , a2k, ., aik, ., ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a1k ), 2-й отрасли (a2k) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (ai1 , ai2, . и т.д.).

Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли (k=2) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. На каждую единицу продукции 2-й отрасли (х 2=1) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама (а11=0.2), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1 '=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно   обратиться к   составленной   систем уравнений,  положив  у1=0  и   у2=1   (см п.2):

0.8х1 - 0.4х2 = 0                                                     (3.9);

-0.55х1 + 0.9х2 = 1

Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12.

Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (почему они и были названы прямые затраты) , то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые (а12), так и косвенные затраты, реализуемые через другие (в данном случае через 1-ю же) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12 =0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта. Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые (aik), так и косвенные (Sik - aik) затраты. Очевидно, что всегда Sik > aik. Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит наосновании системы (3.9):

x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, ., xn = Snk·yk                        (3.10);

что можно записать короче в виде:

_    _

x = Sk·yk                                                                     (3.11);

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  xk,  необходимый  для    его обеспечения, определится на основании равенств (10) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

                                                             _  _

xk = Sk1y1 + Sk2y2 + . + Sknyn = Sk·y ,                        (3.12);

а весь вектор-план х найдется из формулы (3.8) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам (8) – (12) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = (Dх1, Dх2,., Dхn) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = (Dу1, Dу2,., Dуn) по формуле:

_          _

Dх = S·DУ ,                                                                (3.13);

Включим  в наш анализ, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.  Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k (где k = 1, 2, ., n).

Включив эти коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их в виде дополнительных строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

a11     a12     .     a1k     .     a1n

a21     a22     .     a2k     .     a2n

При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы (структурная матрица А). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12 , ., S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 ит.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

                                                                          _    _

Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + . + an+1,nSn1 = an+1S1  ,

т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

_    _

Sn+1,k = an+1Sk                                                                   (3.14);

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

_    _

Sn+2,k = an+2Sk                                                                    (3.15);

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.