Контрольная работа по "Эконометрике"

1. F-критерий Фишера. Что такое частный F-критерий и чем он отличается от последовательного F-критерия?

 

F - критерий Фишера используют  для сравнения дисперсий двух  вариационных рядов. Для вычисления  F нужно найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, чтобы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая знаменателе. Формула вычисления по критерию Фишера F такова: ,

где  - большая дисперсия,  - меньшая дисперсия.

 Где     и

Если вычисленное значение критерия F больше критического для  определенного уровня значимости и  соответствующих чисел степеней свободы для числителя и знаменателя, то дисперсии считаются различными.

 Поскольку, согласно  условию критерия, величина числителя  должна быть больше или равна  величине знаменателя, то значение  F всегда будет больше или равно единице, т.е. .

Число степеней свободы числителя  определяется по формуле: ,

где - число вариант для большей дисперсии.

Число степеней свободы знаменателя  определяется по формуле: ,

где - число вариант для меньшей дисперсии.

Частный F-критерий, его отличие от последовательного F-критерия

Значимость уравнения  множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

,

где Dфакт - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

Dост - остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

R2 - коэффициент (индекс) множественной  детерминации;

m – число параметров при переменных х

n – число наблюдений.

 

Частный F-критерий построен на сравнении прироста факторной  дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно  включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы  по регрессионной модели в целом. Предположим, что оцениваем значимость влияния х1 как дополнительно включенного в модель фактора. Используем следующую формулу:

,

где - коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов;

          - тот же показатель, но без включения в модель фактора х1;

          n – число наблюдений

          m – число параметров в модели (без свободного члена).

 

Если оцениваем значимость влияния фактора хn после включения в модель факторов x1,x2, …,xn-1, то формула частного  F-критерия определится как

 

 

В общем виде для фактора  xi частный F-критерий Фишера определится как

 

 

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным при 5%-ном или 1%-ном уровне значимости и числе степеней свободы: m и n-m-1. Если Fфакт>Fтабл(a,n,n-m-1), то дополнительное включение фактора xi в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии bi при факторе xi статистически значим. Если же Fфакт<Fтабл(a,n,n-m-1), то дополнительное включение фактора xi в модель существенно не увеличивает долю объясненной вариации признака y, следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

С помощью частного F-критерия Фишера можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в  предположении, что каждый соответствующий  фактор xi вводился в уравнение множественной регрессии последним. 

 

Если уравнение содержит больше двух факторов, то соответствующая  программа ПК дает таблицу дисперсионного анализа, показывая значимость последовательного  добавления к уравнению регрессии  соответствующего фактора. Так, если рассматривается  уравнение

y=a+b1x1+b2x2+ b3x3+ε,

то определяются последовательно F-критерий для уравнения с одним  фактором х1, далее F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х2, т.е. для перехода от однофакторного уравнения регрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х3 после включения в модель фактора х1 и х2. В этом случае F-критерий для дополнительного включения фактора х1 после х2 является последовательным в отличие от F-критерия для дополнительного включения в модель фактора х3, который является частным F-критерием, ибо оценивает значимость фактора в предположении, что он включен в модель последним.

 

 

2. Имеются данные о сменной добычи угля на одного рабочего у (т), мощности пласта х₁ (м) и уровнем механизации работ х₂ (%), характеризующие процесс добычи угля в десяти штатах:

 

Х1	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
Х2	5	8	8	5	7	8	6	4	5	7
У	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8

 

1) построить линейную многофакторную модель;

2) рассчитать коэффициент  корреляции и оценить тесноту  связи;

3) рассчитать коэффициент  детерминации, коэффициент эластичности  и пояснить их экономический  смысл;

4) найти среднюю  по модулю относительную ошибку  аппроксимации и оценить точность  построенной регрессионной модели;

5) найти F-критерий  Фишера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

1. Предполагая, что между переменными y, x1 и x2 существует линейная корреляционная зависимость. Найдем уравнение множественной регрессии y по , x1 и x2.

 где a, b₁, b₂ – параметры уравнения регрессии.

уравнение регрессии

 Параметры уравнения регрессии оценим с помощью метода наименьших квадратов (МНК), представленного системой линейных уравнений:

1	8	5	5	64	25	25	40	40	25
2	11	8	10	121	64	100	88	110	80
3	12	8	10	144	64	100	96	120	80
4	9	5	7	81	25	49	45	63	35
5	8	7	5	64	49	25	56	40	35
6	8	8	6	64	64	36	64	48	48
7	9	6	6	81	36	36	54	54	36
8	9	4	5	81	16	25	36	45	20
9	8	5	6	64	25	36	40	48	30
10	12	7	8	144	49	64	84	96	56
Сумма	94	63	68	908	417	496	603	664	445
Среднее значение	9,4	6,3	6,8	90,8	41,7	49,6	60,3	66,4	44,5

 

Произведем расчет составляющих системы в таблице:

 

Для нахождения параметров уравнения регрессии в данном случае необходимо решить следующую  систему нормальных уравнений:

Найдем параметры уравнений  с помощью метода определителей:

 

Общий определитель:

 

Определитель для параметра  а:

 

Определитель для параметра  b₁:

 

Определитель для параметра  b₂:

 

Тогда параметры уравнения равны:

 

 

 

, , .

Тогда уравнение множественной  регрессии имеет вид:

  .

Показывает, что при увеличении только мощности пласта (при неизменном ) на 1 м добыча угля на одного рабочего увеличится в среднем на 0,854 т, а при увеличении только уровня механизации работ (при неизменном ) на 1% – в среднем на 0,367 т.

2. Определим коэффициенты корреляции

Предварительно вычислим средние квадратические отклонения:

 

;

;

Оценим качество уравнения. Сначала  найдем значения парных коэффициентов корреляции:

 

 

 

Связь между добычей угля на одного рабочего и мощностью пласта сильная.

 

 

 

Связь между добычей угля на одного рабочего и уровнем механизации работ умеренная.

 

 

Связь между мощностью пласта и уровнем механизации работ слабая.

 

Найдем значения частных коэффициентов корреляции:

 

Связь между добычей угля на одного рабочего и мощностью пласта при фиксированном уровне механизации работ существенная (сильная).

 

Связь между добычей угля на одного рабочего и уровнем механизации работ при фиксированной мощности пласта заметная. Т.е. можно сделать вывод, что фактор X₁ оказывает более сильное влияние на результат, чем фактор X₂.

Можно рассчитать взаимосвязь  факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

 

Практически отсутствует  связь между факторными признаками при элиминировании результативного  показателя. Это вполне понятно —  мощность пласта и уровень механизации работ никак не связаны между собой

 

Найдем множественный коэффициент корреляции:

 

 

Совокупный коэффициент  множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных  признаков на результативный. Его значения находятся в пределах -1 до +1. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а следовательно, значение R ближе к единице.

Добыча угля на одного рабочего достаточно сильно зависит от мощности пласта и уровня механизации работ

 

3. рассчитаем коэффициент детерминации и коэффициент эластичности

 

0,81 - коэффициент детерминации

Совокупный   коэффициент   множественной   детерминации R= 0,81 показывает, что добыча угля на одного рабочего на 81 % обусловливается двумя анализируемыми факторами. Значит, выбранные факторы существенно влияют на показатель добычи угля. Таким образом, изучаемая с помощью многофакторного корреляционного и регрессионного анализа стохастическая связь между исследуемыми показателями свидетельствует о целесообразности построения двухфакторной регрессионной модели производительности труда в виде линейного уравнения регрессии

Качество подбора линейной функции определяется с помощью квадрата линейного коэффициента корреляции — коэффициента детерминации. Он характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при  помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

,  .

Т.е. увеличение только мощности пласта (от своего среднего значения) или  только уровня механизации работ  на 1% увеличивает в среднем сменную  добычу угля на 1,18% или 0,34% соответственно. Таким образом, подтверждается большее  влияние на результат  фактора , чем фактора .

 

4. определяем среднюю ошибку аппроксимации по зависимости:

Для этого исходную таблицу  дополняем двумя колонками, в  которых определяем значения, рассчитанные с использованием зависимости и  значения разности .

№
1	8	5	5	5,13	0,026
2	11	8	10	8,79	0,121
3	12	8	10	9,64	0,036
4	9	5	7	5,98	0,146
5	8	7	5	5,86	0,172
6	8	8	6	6,23	0,038
7	9	6	6	6,35	0,058
8	9	4	5	5,61	0,122
9	8	5	6	5,13	0,145
10	12	7	8	9,28	0,16
Сумма	94	63	68	68	1,024