Контрольная работа по "Экономике"

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ 

ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТА И МАРКЕТИНГА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

вариант 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.

Особые случаи решения ЗЛП графическим  методом.

 

При решении  задач ЗЛП графическим методом  могут встречаться случаи, когда  линия уровня параллельна одной  из сторон выпуклого многоугольника допустимых решений, причем это сторона  расположена в направлении смещения линии уровня при стремлении целевой  функции к своему оптимуму. В этом случае оптимальное значение целевой  функции достигается не в одной, а в двух угловых точках (вершинах) многоугольника решений и, следовательно, во всех точках отрезка, соединяющего эти вершины, т.е. задача будет иметь  бесчисленное множество решений.

  
Рисунок 1

 
При перемещении  прямой с1x+с2y=d «вход» или «выход» (как  на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с1х +с2у=d.

В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно – любая точка  отрезка АВ. Это означает, что  целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей  стороне многоугольника D.

Если  область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многоугольником  в направлении оптимизации целевой  функции, то целевая функция будет  неограниченной, и ЗЛП не будет  иметь решений, т.е. максимальное (минимальное) значение функции не достигается  никогда.

 

  
Рисунок 2

 

Рассмотрим на примере функции f(x) =3x₁+3x₂→ max

При ограничениях

2x₂-x₂≥1     (1)

X₁-2x₂≤2   (2)

X_1,2≥0.

Решение: Задача не имеет решения, так как  ЦФ не ограничена сверху на ОДР. (рис. 2)

 

 

Задание 2.

Решить графическим методом  типовую задачу оптимизации

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал  в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия  В. Чтобы уменьшить риск, акций  А должно быть приобретено по крайней  мере в два раза больше, чем акций  В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды  по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

 

Введем обозначения:

х₁ — инвестиции в акции концерна А.

х₂ — инвестиции в акции строительного предприятия В.

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

Построим  ОДР задачи:

Прямые  ограничения означают, что область  решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные  ограничения определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с  граничными прямыми:

I. (0;300) (300;0)

т.(0;0) –  входит в ОДР;

II. (200; 100), (0;0).

т.(1;0) –  входит в ОДР;

III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.

т.(0;0) – входит в ОДР.

Рис. 1.

 

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник  АВСО (заштрихованная общая область  для всех ограничений задачи ОДР).

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).

Построим  некоторую линию уровня 0,08х₁+0,1х₂=а.

Пусть, например, а = 0

(0;0) (100;-80)

Такой линии  уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном  направлении. Предельными точками  при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее  она выходит из ОДР.

Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения всех прямых.

х₁ = 200;

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х₁ = 100; х₂ = 200 максимальное значение, равное

f(х₁,х₂) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28

Для того, чтобы получить максимум прибыли  28 ден.ед. необходимо вложить 200 ден. ед. в концерн А и 100 ден. ед. в строительное предприятие В.

Если  решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при котором  предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой по направлению вектора . Очевидно, что он достигается либо в точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.

Строим  графики: ограничения – черные, целевая  функция – красная, область допустимых решений зеленая.

Рис. 2

 

Если  нужно найти минимум, то двигаем  красную линию параллельно самой  себе вниз и получаем нули – ничего не покупаем и ничего не получаем.

 

Задание 3.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда

В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	14	21	24	33	41	44	47	49

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель У(t) = а₀ + а₁t, параметры которой оценить МНК (У(t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
4. оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями).

 

 

Решение:

1. Запустить табличный процессор MS Excel.

Создать книгу  с именем «Контрольная работа, вариант  № 01».

На листе  1 создать таблицу и ввести информацию, приведенную в таблице.

t	у
1	10
2	14
3	21
4	24
5	33
6	41
7	44
8	47
9	49

 

 

 

 

 

 

 

Проверяем наличие  аномальных наблюдений

 

Диаграмма рассеяния

 

Данные диаграммы  рассеяния показывают, что аномальных наблюдений нет.

 

2. Построим  линейную модель:

,

Где

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Построим расчетную таблицу 1.

 

t	y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)	Yp(t)
1	10	-4	16	-21,4	85,8	10,2
2	14	-3	9	-17,4	52,3	15,5
3	21	-2	4	-10,4	20,9	20,8
4	24	-1	1	-7,4	7,4	26,1
5	33	0	0	1,6	0,0	31,4
6	41	1	1	9,6	9,6	36,7
7	44	2	4	12,6	25,1	42,0
8	47	3	9	15,6	46,7	47,3
9	49	4	16	17,6	70,2	52,6
45	283	0	60	0,0	318,0	283,0
5	31,4	0	6,7	0	35,3	31,4

 

Создать графики  остатков и график подбора следующим  образом: меню: Сервис→ Анализ данных→выбрать Регрессия→ОК→ (или добавить кнопку на панель инструментов с помощью  команды в меню Добавить команды…→Надстройки→Пакет  анализа VBI→ добавить) выбрать входные интервалы, выходной интервал→пометить остатки, график остатков и график подбора→  создать график остатков и график подбора → ОК.

 

Появляются 4  таблицы:

Средствами  MS Excel получена следующая линейная модель:

 

3. Для  оценки адекватности модели составим  расчетную таблицу 2.

t	y(t)	Yp(t)	е	Р	et-et-1	(et-et-1)2	et2	etet-1	Еотн
1	10	10,2	-0,24	-	-		0,1		2,4
2	14	15,5	-1,54	1	-1,3	1,7	2,4	0,4	9,9
3	21	20,8	0,16	1	1,7	2,9	0,0	-0,2	0,7
4	24	26,1	-2,14	1	-2,3	5,3	4,6	-0,3	8,2
5	33	31,4	1,56	0	3,7	13,7	2,4	-3,3	4,9
6	41	36,7	4,26	1	2,7	7,3	18,1	6,6	11,6
7	44	42,0	1,96	0	-2,3	5,3	3,8	8,3	4,7
8	47	47,3	-0,34	0	-2,3	5,3	0,1	-0,7	0,7
9	49	52,6	-3,64	-	-3,3	10,9	13,3	1,3	6,9
45	283	283,0	-	4	-3,4	52,3	44,8	12,0	50,1