Контрольная работа по "Экономике"

                  Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство  по образованию ГОУ ВПО

 Всероссийский  заочный финансово-экономический  институт

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по предмету

«Эконометрика»

Вариант 2.

 

 

 

 

Преподаватель: Прокофьев О.В.                                                                                                  Работа выполнена: Изосимовой И.Г.

                       Факультет: финансово-кредитный

                                                                                   3 курс

                        № личного дела 08ффб02662

                        группа №  2

 

 

     

 

 

 

 

 

Пенза 2011 г.

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

 

 

Х	72	52	73	74	76	79	54	68	73	64
Y	121	84	119	117	129	128	102	111	112	98

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

     Уравнение  линейной регрессии имеет вид: 

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

1,404

112,1-(1,403987´68,5) = 15,93

 

Уравнение линейной регрессии имеет  вид: =15,93+1,404*x.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем  выпускаемой продукции увеличиться в среднем на 1,404 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.

 

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

Остатки см табл 1.1 столбец 

Остаточная сумма квадратов  = 297,59

Дисперсия остатков  37,1985

 

График остатков

 

 

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

 

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.

• случайный характер остатков
• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от x_i
• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x
• отсутствиеавтокорреляции остатков
• остатки подчиняются нормальному распределению
• случайный характер остатков

Для простейшей визуальной проверки строится график зависимости  остатков e_i от теоретических значений результативного признака ŷ

Остатки расположены внутри симметричной  огибаемой горизонтальной полосы. 

На графике остатки  расположены случайным образом, значит остатки e_i представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

Для проверки с помощью  критерия поворотных точек строится график е(х) (используются отсортированные значения Х в порядке возрастания).

Найдём колличество  поворотных точек.

Для этого отсортируем  в порядке возрастания величины х.

 

 

 

 

 

 

 

Данные для нахождения поворотных точек
x		поворотные точки
52	-4,94
54	10,25	1
64	-7,79	1
68	-0,4	0
72	3,98	1
73	0,58	0
73	-6,42	1
74	-2,83	0
76	6,37	1
79	1,15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Количество поворотных точек р=5.

Критическое число 

 

 

 

при n=10 равно 2.

Р>2, предпосылка о  случайном характере остатков выполняется.

 

• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от от x_i

Для простейшей визуальной проверки используется ранее построенный  график е(х) зависимости остатков e_i от факторов, включенных в регрессию x_i.

 

Остатки на графике расположены  случайным образом  внутри симметричной горизонтальной полосы, значит их математическое ожидание не зависит от x_i.

 

Проверка равенства  математического ожидания уровней  ряда остатков нулю осуществляется в  ходе проверки соответствующей нулевой  гипотезы H_0: . С этой целью строится t-статистика , где _.

 

t= 0 26228139 (α = 0,05; ν=n-1=9) гипотеза принимается.

t-статистика			-0,92
t крит 0,05			2,228
t	ei=yi-yi^	(ei-ei cp)^2
1	3,986047	15,88857
2	-4,93422	24,34652
3	0,58206	0,338794
4	-2,82193	7,963271
5	6,3701	40,57817
6	1,15814	1,341287
7	10,25781	105,2226
8	-0,39801	0,158409
9	-6,41794	41,18996
10	-7,78206	60,56045
Сумма	5,68*10-14	297,588
Среднее	5,68*10-15

 

• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x

Коэфф. Спирмена где

_{r(x) – ранг х (порядковый номер х по возрастанию)}

_{r(e) – порядковый номер остатка по возрастанию.}

_{Связь ниже среднего (по коэффициенту Спирмена -0,35152).}

t-статистика  это меньше t Крит, следовательно гипотеза об отсутствии гетероскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается.

К проверке предпосылки  МНК №3 по тесту Спирмена
r(x)	r(e)	r(x)-r(e)	(r(x)-r(e))^2
5	5	0	0
1	6	-5	25
6	2	4	16
8	4	4	16
9	7	2	4
10	3	7	49
2	10	-8	64
4	1	3	9
6	8	-2	4
3	9	-6	36
Сумма			223
Коэфф. Спирмена			-0,35152
t-статистика			-1,06201
t крит 0,05			2,306004

 

Гомоскедастичность присутствует

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона.

          dw= =1,571623

 

Верхние (d₂=1,36) и нижние (d₁=1,08) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.

Если 0<d<d1, то уровни автокоррелированы, то есть зависимы, модель неадекватна.

Если d1<d<d2, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

Если d2<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

  В нашем случае 1,36<1,57<2 уровни ряда остатков  являются независимыми.

Проверка  нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями (2,67; 3,685);

Рассчитаем значение RS:                RS = (E_max - E_min)/ S,

где E_min - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E_max  - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднее квадратическое отклонение.

Emax=	10,257
Emin=	- 7,79
Emax-Emin=	18,047
S=	5,750
RS=	3,139

Так как  2,67<3,139<3,685, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, предпосылки МНК  выполняются.

 

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

                        

= 1,037473 < 2,306004

 

= =6,314711  >2,306004

Затем расчетные значения сравниваются с табличными t_табл= 2,306004. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости a (0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым.

В нашем случае коэффициент a регрессии незначим, коэффициент b регрессии значим .

 

5. Вычислим коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью  - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.