Контрольная работа по "Микроэкономика"

Задача 1 Функция полезности индивида имеет вид: U=Х^0,5 Y^0,5

Цена единицы товара Х равна 2 т.р., цена единицы товара Y= 5т. руб. Потребитель может потратить на эти два товара не более 100 т. руб. какое количество товара каждого вида купит потребитель, стремящейся к точку насыщения? Цена упала до 4 т.р. Найти эффект дохода по Хиксу и Слуцкому. Построить компенсирующую кривую спроса по Слуцкому и Хиксу.

 

Решение:

Графическое представление оптимальной точки  – это точка касания бюджетного ограничения потребителя и кривой безразличия . Исходя из этого, в точке оптимума угол наклона кривой безразличия MU_x   равен углу наклона бюджетной линии P_{x   .}

                                                      MU_Y                                                                                                                            P_y

 

 
     Решая данную систему находим оптимальное количество товара X и Y при начальных условиях.

MU_{X =}

 
  MUy ₌

 

 

 

x=2,5y

Полученное равенство  подставим в уравнение бюджетной линии.

2x+5y=100

2*2,5y+5y=100

10y=100

Y₀=10

X₀₌25

 

Таким образом получили координаты точки Е_0, соответствующей оптимуму потребителя при первоначальных условиях, т.е. при потреблении товара X в количестве  X₀₌25, цене P_{x =}2 т.р. и товара Y в количестве Y₀=10 и цене P_y =5 т.р. и неизменном денежном доходе.

  Найдем координаты конечной точки Е_1, соответствующей оптимуму потребителя при снижении цены на товар Y с помощью уравнения бюджетной линии.

 

 

y=0,5x

2x+4*0,5x=100

4x=100

X₁ =25

Y₁=12,5

 

Найдем вспомогательную  точку E₂ , соответствующую также оптимуму с объемом потребления товара X в количестве X₂ и цене P_{x =}2 т.р. и товара Y в количестве Y₂ и цене P_y1 =4 т.р при сохранении исходного уровня полезности.

 

 

Отсюда получаем:

 

y₂ =

 

^y₂^{′ =}

          

 

x₂ =22,36

y₂  =11,18

 

ОБЩИЙ ЭФФЕКТ показывает как изменился объем потребления  товара при изменении его цены. Если зависимость между изменением цены и объемом потребления данного товара прямая, то есть закон спроса нарушен, то такие блага называют товарами Гиффена.

 

ЭФФЕКТ ЗАМЕНЫ

по Хиксу показывает на сколько бы изменился объем  потребления блага при изменении  его цены в условиях сохранения потребителем прежнего (первоначального) уровня полезности.

 

по Слуцкому показывает на сколько бы изменился объем  потребления блага при изменении  его цены в условиях сохранения потребителю  возможности приобрести первоначальный набор продуктов.

 

Эффект замены всегда отрицателен. Под этим утверждением понимается, что зависимость между ценой товара и объемом потребления при эффекте замены всегда обратная. То есть, при снижении цены объем потребления товара в ходе эффекта замены всегда будет расти (не убывать), а при увеличении цены – наоборот, снижаться (не возрастать). Таким образом, направление эффекта замены – движение из первоначальной точки оптимума потребителя вдоль первоначальной кривой безразличия в промежуточную (вспомогательную, построенную нами для расчета эффектов) точку.

 

ЭФФЕКТ ДОХОДА показывает на сколько изменится объем потребления данного блага за счет того, что потребитель начинает чувствовать себя богаче (рост реального дохода потребителя при снижении цены на товар) или беднее (снижение реального дохода при росте цены). Эффект дохода может быть как положительным, так и отрицательным.

 

По Хиксу – рост изменения дохода на столько, чтобы при новых ценах попасть на старую кривую безразличия.

 

По Слуцкому – рост изменения дохода на столько, чтобы  при новых ценах можно было бы купить старый набор товаров.

 

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ДОХОДА: прямая зависимость между изменением реального дохода и объемом потребления  товара

 

а) при снижении цены товара, что эквивалентно росту реального  дохода потребителя, объем потребления  данного товара тоже вырастет ;

 

б) при росте цены товара, что эквивалентно снижению реального  дохода потребителя, объем потребления  данного товара (за счет эффекта  дохода) сократится

 

При положительном эффекте  дохода мы делаем вывод о том, что  данный товар является качественным.

 

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ДОХОДА: обратная зависимость между изменением реального дохода и объемом потребления товара

 

а) при снижении цены товара, что эквивалентно росту реального  дохода потребителя, объем потребления  данного товара снизился

б) при росте цены товара, что эквивалентно снижению реального дохода потребителя, объем потребления данного товара (за счет эффекта дохода) вырастет

 

При отрицательном эффекте  дохода мы делаем вывод о том, что  данный товар является некачественным для потребителя.

 

Направление эффекта дохода – движение из промежуточной (вспомогательной, построенной нами для расчета эффектов) точки, в которую мы как бы перешли из первоначальной за счет эффекта замены, в конечную, расположенную на новой (конечной) кривой безразличия.

 

Рассчитаем эффекты по Хиксу для товара y:

 ΔYобщий=Yконечное  – Yначальное =y₁ –y₀=12,5-10=2,5.

 

Эффект ЗАМЕНЫ: при  снижении цены товара У, объем потребления  товара У (при сохранении потребителем первоначального уровня полезности) увеличился на 1,18 ед. (ΔYзамены=Yпромежуточное – Yначальное = y₂ –y_{0 =}11,18-10=1,18).

 

Эффект ДОХОДА: при  снижении цены товара У, что эквивалентно росту реального дохода потребителя, объем потребления товара У увеличился на 1,32 ед. (ΔYдохода=Yконечное – Yпромежуточное = y₁ –y₂ =12,5-11,18=1,32), то есть прямая зависимость между изменением реального дохода и объемом потребления, следовательно Y - товар нормальный.

 

Проверка: Общий Эффект = Эффект замены + Эффект дохода; то есть общее изменение объема потребления  товара потребителем при изменении цены данного товара складывается из изменения объема за счет эффекта замены и изменения объема за счет эффекта дохода. Таким образом: 1,18 + 1,32= 2,5.

 

Рассчитаем  эффекты по Слуцкому:

 

Вспомогательная точка E₂ строится так:

 

- через точку E₀ проводим линию бюджетного ограничения с новыми ценами

 

 

 

K₂ L₁проводим касательно к этому Б. О. кривую безразличия, точка касания – точка E₂.

 

 

X₂=2Y₂

4Y₂+4Y₂=90

Y₂ =11,25

X₂=22,5

 

Общий эффект = y₁ –y₀=12,5-10=2,5=эффект замены+эффект дохода

 

Эффект замены = y₂ –y_{0 =}11,25-10=1,25

 

Эффект дохода = y₁ –y₂ =12,5-11,25=1,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2 (дуополия Курно и картель) В дуополии Курно предельные издержки каждой из фирм постоянны и равны 10. Спрос на рынке определяется соотношением Q = 50 - р.

a) Определите  функции наилучшего ответа для  каждой из фирм.

b) Каков выпуск  каждой из фирм?

3. Сравните совокупный выпуск дуополии Курно с выпуском картеля.
4. Дайте графическую иллюстрацию: обозначьте точку Курно-Нэша, точки, при которых фирма имеет монопольный выпуск и конкурентный объем производства.

 

Решение:

 

a) Положим, что каждый дуополист (во всех отношениях идентичный сопернику) стремится к максимизации своей прибыли, исходя из предположения, что другой дуополист не будет изменять выпуска, каким бы ни был его собственный выпуск.

Обратная функция рыночного спроса линейна:

P = 50 – Q

где Q = q1 + q2

Подставив в функцию спроса, получим

P = 50 - (q1 + q2)

Тогда прибыли дуополистов  можно представить как разности между выручкой и затратами на выпуск каждого из них:

p1 = TR1 - cq1 = Pq1 - cq1,

p2 = TR2 - cq2 = Pq2 - cq2

Подставив в правые части  значение Р, получим 

p1 = (50 - q1 - q2)* q1 - cq1

p2 = (50 - q1 - q2)* q2 – cq2

Условием максимизации прибылей дуополистов будет равенство  нулю первых производных следующих уравнений :

dp1/dq1 = 40 - 2q1 - q2  = 0,

dp2/dq2 = 40 - 2q2 – q1 = 0.

 

 Это и есть уравнения кривых реагирования дуополистов.

 

b)

Откуда после несложных преобразований получим выпуск каждой из фирм

40-2q2-(20-0,5q2)=0

20-1,5q2=0

q2=13,33

q1=20-0,5*13,33=13,33

c)

Cовокупный выпуск дуополии Курно:

Q=q1+q2

Q=13,33+13,33=26,66

Cовокупный выпуск картеля:

Теперь представим, что все предприятия объединились в картель, который будет вести себя на рынке подобно монополии с несколькими заводами, максимизирующими свою прибыль, когда его предельные затраты равны рыночной цене (МС=Р).

Q=50-P

Q=50-10=40

 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3 (дуополии Курно и Штакельберга) Две фирмы производят одинаковый продукт. У обеих фирм предельные издержки постоянны, у фирмы 1 они равны МС₁ = 2 за шт., а у фирмы 2 они равны МС₂ =3 за щт. Фиксированные издержки равны нулю. Функция обратного спроса на хлеб есть р = 10 - Q, где Q= q₁ + q₂.

a) Найдите  функцию реакции фирмы 1.

б) Найдите  функцию реакции фирмы 2.

в) Найдите объемы выпуска  каждой фирмы в равновесии Курно.

г) Найдите объемы выпуска  каждой фирмы в равновесии Штакельберга, считая фирму 2 — лидером, а фирму 1-последователем.

 

Решение:

 

a) б)

 Положим, что каждый дуополист (во всех отношениях идентичный сопернику) стремится к максимизации своей прибыли, исходя из предположения, что другой дуополист не будет изменять выпуска, каким бы ни был его собственный выпуск.

Обратная функция рыночного спроса линейна:

P = 10 – Q

где Q = q1 + q2

Подставив в функцию спроса, получим

P = 10 - (q1 + q2)

Тогда прибыли дуополистов  можно представить как разности между выручкой и затратами на выпуск каждого из них:

p1 = TR1 - cq1 = Pq1 - cq1,

p2 = TR2 - cq2 = Pq2 - cq2

Подставив в правые части  значение Р, получим 

p1 = (10 - q1 - q2)* q1 - cq1

p2 = (10 - q1 - q2)* q2 – cq2

Условием максимизации прибылей дуополистов будет равенство  нулю первых производных следующих уравнений :

dp1/dq1 = 8 - 2q1 - q2  = 0,

dp2/dq2 = 8 - 2q2 - q1 = 0.

 

Это и есть уравнения  кривых реагирования дуополистов.

 

в)

Откуда после несложных  преобразований получим выпуск каждой из фирм

7-2q2-4+0,5q2=0

3-1,5q2=0

q2=2

q1=4-0,5*2=3

г)

Равновесие в модели Курно достигается за счет того, что каждый из конкурентов меняет свой объем выпуска в ответ на изменение выпуска другого до тех пор, пока такие изменения увеличивают их прибыль. В модели Штакельберга предполагается, что один из дуополистов выступает в роли лидера, а другой — в роли аутсайдера. Лидер всегда первым принимает решение об объеме своего выпуска, а аутсайдер воспринимает выпуск лидера в качестве экзогенного параметра. В этом случае равновесные объемы выпуска определяются не в результате решения системы уравнений реакции дуополистов, а на основе максимизации прибыли лидера, в формуле которой вместо выпуска аутсайдера  находится уравнение его реакции.

Если лидером  является фирма 1, то ее выпуск определяется из равенства MR1=МС1

MR1=((10-(q1+3,5-0,5q1))*q1)'

6,5-q1=2

q1=4,5

q2=3,5-0,5*4,5=1,25

Таким  образом получили объемы выпуска каждой фирмы в  равновесии Штакельберга.